§1.4 无穷大与复球面(上课用)2011-8-27

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1、§1.4无穷大与复球面教学目的：理解无穷远点和复球面的相关概念；了解无穷远点的运算性质．重点：掌握无穷远点的邻域与去心邻域概念．难点：理解无穷远点的概念．教学过程：§1.4.1无穷远点1．无穷远点与扩充复平面在复变函数的研究中,有时为了讨论问题的需要,我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数——无穷大，记作．【定义】约定复平面上有一个模为正无穷大,且其幅角无意义的理想点,称为无穷远点,其表示的理想复数称为无穷大,均记为.复平面加上后称为扩充复平面(或扩充复数集),记为．规定．2．和有限数的四则运算定义如下：加法：；减法：

2、；乘法：；除法：．3.注意：在定义了后，0可以作除数．但，3，，，都无意义(未定式)．在复数情形下，是没有符号的．,的实部、虚部以及辐角无意义.4.无穷大的邻域:（）为给定的正常数）;无穷大的去心邻域：.（）5．关于的规定：复平面上任一条无限延伸的连续曲线都通过,同时没有一个半平面包含；是复平面的惟一边界点．注意:今后如无特别声明,所涉及的复数及平面均指通常的复数和复平面.6.不含无穷远点的平面称为有限复平面；含有无穷远点的平面称为扩充复平面.§1.4.2复球面1．复球面为了说明无穷远点的合理性,我们再引进复数的一种几何表示法

3、——复数在球面上的几何表示.3在三维空间中,把平面看成表示复数的平面,取以原点为心,为半径的球面.取定球面上一点,称为北极(如图1.18).现用直线段将与平面上一点相连,则此线段与球面交于一点(称为的球极投影),这样,在复平面与球面上的点集之间就建立了一个双射(即一一映射或一一对应).如图1.18,当平面上的点的模愈大,那末它的球极投影就愈接近于北极,因此,我们可以用表示.此时就可以表示扩充复平面,称为复球面.简单地讲,复球面就是扩充复平面的几何模型.小结：加强对扩充复平面及无穷远的邻域概念的理解，注意无穷大与有限数的运算性质

4、.易犯错误：对扩充复平面的认识不到位.3