§1.3 平面点集的一般概念(上课用)2011-8-27

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1、§1.3平面点集的一般概念教学目的：理解并掌握复平面上的简单曲线、区域、单连通域与多连通域等概念．重点与难点：理解复平面上的简单曲线、区域、单连通域与多连通域等概念；弄清各概念的区别和联系．教学过程：§1.3.1开集与闭集1．点的邻域与去心邻域点的邻域是点集中最基本的概念之一,其定义如下：【定义1】平面上以为中心，（任意正数）为半径的开园可表示为：，称为的－邻域，记为.称为的－去心邻域．记为．（如图1.10）2．几类特殊点(1)聚点与孤立点【定义2】设为平面上的一个点集，为平面上的一点（不必属于）,若的任意一个邻域

2、中都有中的无穷多个点(即对的任一个邻域,总有10为无限集),则称为的一个聚点(或极限点).若属于,但非的聚点，即存在的某个邻域,使得,则称为的一个孤立点.例子:点集以0为聚点，但0不在集合中；点集以0为聚点，但0在集合中.实数集R中每一点都是R的聚点.（2）内点与外点【定义3】设为平面上的一个点集，为平面上的一点,若,,则称为的一个内点.若存在的某个邻域,使得,则称为的一个外点.显然的一个外点必不属于．（3）边界点与边界【定义4】设为平面上的一个点集，为平面上的一点,若在的任一个10邻域内既有属于的点也有不属于的点

3、，即，,则称为的一个边界点.一般的边界点可以属于,也可以不属于．习惯上,我们把的边界点全体所成的集(记为)称为的边界．（如图1.11）（4）内点、聚点、边界点、孤立点几类点之间的关系3．开集与闭集【定义5】设为平面上的一个点集,若内的每一点都是内点,则称为开集．平面上不属于的全体点组成的集合为的余集，记作（或），则开集的余集称为闭集．结论：为开集的充要条件是是闭集．例子:为开集:因为对于，存在成立.为闭集,因为为开集.为的边界.【定义6】设为平面上的一个点集,若存在正数10,使得对任意,都有(即全含于一圆之内),则

4、称为有界集,否则称为无界集．空集既是开集又是闭集.§1.3.2平面区域1．区域与闭区域【定义7】设为平面上的一个点集,若满足(1)是开集；(2)是连通集(即中任意两点可用全含在内的一条折线连接),则称为区域(即连通开集为区域).若是区域,则称为闭域.记为．注意：区域是开集，闭区域是闭集；全平面既是区域又是闭区域.下面举些平面点集的例子例1平面上满足的点组成区域(称为以为心,为半径的圆),而满足的点所成的集是闭域(称为以为心,为半径的闭圆域)。显然,它们都是有界的,且都以圆周为边界.例2平面上以实轴为边界的两个无界区

5、域为：上半平面和下半平面,10平面上以虚轴为边界的两个无界区域为：右半平面和左半平面.（如图1-12）例3由不等式且所确定的平面点集(如图去掉阴影的部分)是无界区域；由不等式所确定的平面点集是无界区域(称为带形区域)．（如图1-13）例4由不等式所确定的平面点集是有界区域(称为圆环域)（如图1-14）例5由等式所确定的平面点集表示线段的中垂线,它是无界集,但不是区域．（如图1-15）§1.3.3平面曲线与若当曲线1．平面曲线的复方程【定义8】设和都是闭区间上连续的实函数,由方程组或复数方程．,所确定的平面点集,称为

6、平面上一条连续曲线.102.常见的曲线的复数形式方程:1）圆:.其中正的实常数.2）椭圆的常数）：.3）直线:其中为平面上的已知点.4）以为端点的直线段.5）以为起点的射线.6）连接,两点的直线的复参数方程为，(其中);（如图1.8）3．光滑曲线、简单曲线【定义】如果在区间上都连续，且对每一个都有，则称曲线10光滑；由几段光滑曲线顺次连接所成的曲线称为分段光滑曲线.注意：光滑曲线必须是曲线在每一点的切线存在，且每点的切线沿曲线连续转动（连续变化）。【定义10】设是一条连续曲线，其中及分别为的起点和终点；对于满足，且

7、的和,当时，而有，则点称为曲线的重点；凡无重点的连续曲线,称为简单曲线或若当（）曲线.(即起点和终点重合)的曲线称为简单闭曲线．连续曲线必为平面上的有界闭集．平面曲线有四种:简单闭曲线、简单不闭曲线、不简单闭曲线、不简单不闭曲线.【若尔当定理】任一条简单闭曲线将平面惟一地分成、、三个点集，它们具有如下性质：(1)彼此不交；10(2)是一个有界区域(称为的内部)；(3)是一个无界区域(称为的外部)；(4)与均以为边界,且任一条端点分别在和内的连续曲线必与曲线相交．简单闭曲线的方向规定如下(左手法则):当观察者沿着的某

8、一方向前进时,的内部总在观察者的左手边(即逆时针方向),则称此方向为的正方向,此时另一个方向称为的负方向(即顺时针方向)．（如图1-16）3．单连通区域与多连通区域【定义】设为平面上的区域,若对内任一条简单闭曲线,总有的内部仍含于，则称为单连通区域;否则称为多连通区域．（如图1-17）结论：简单闭曲线的内部是单连通区域,而其外部是多连通区域．例6试说出下列各