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《§1.3 复数的乘幂与方根 2012-9-6(上课用)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§1.3复数的乘幂与方根教学目的：熟练运用复数的各种表示法的转化灵活进行相关的计算与证明．重点：灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相关问题．难点：模不等式证明，复数的三角表示与指数表示，复数的开方与复方程求解．教学过程：复习：1.复数的模的三角不等式与恒等式,,..设，则有三角不等式,例（1）；（2）设为任意复数，证明下式并说明它的几何意义.；（3）.11证明（1）.（2）∵，又∵，∴两式相加得.它的几何意义是:平行四边形的对角线的平方和等于它的相邻两边的平方和的两倍.（3），又因为，所
2、以，从而，11同理可证故有思考:说明上述不等式在什么条件下取等号?2.复数的三种表示1）代数表示：而称为复数的代数形式.2）三角表示：设（），由直角坐标与极坐标的关系知称为（）的三角形式.其中是模，是辐角.（如图1.6解释两个量）注意：特别,当时称为单位复数.3）指数表示式：由欧拉公式（）:,知复数（）表示成称为指数形式.§1.3.1复数的积与商设，1.复数三角形式与指数形式的积http://www.tigang.net/则.设,,则.11从而,.【定理一】两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个
3、复数乘积的辐角等于两个辐角的和.复数乘法的几何意义：表示将所表示的向量逆时针旋转并伸长倍后所获得的向量.（提问：及表示的意义是什么？）重要结论：,,(为任意整数)2.复数三角形式与指数形式的除法（同上叙述除法的几何意义）从而；.【定理二】两个复数商的模等于他们模的商；两个复数商的辐角等于被除数的辐角与除数的辐角之差.思考题：如何理解；例子：，11..例1用复数的三角形式计算（1）.解：因为，所以＝＝.（2）.解：，11＝.注意运用反三角恒等式：.当时，.提问：设，则.#：.§1.3.2复数的乘方
4、与开方运算111.幂：通常把n个复数的乘积称为的n次幂记为.若,记，则,特别当时,有-----棣莫弗公式（）2.方根：设，通常把满足方程(为整数)的复数称为复数的次方根,记为.记,将它们代入方程得,从而,，于是(算术根),,.且复数的n次方根为,.结论：复数的次方根共有个,它们均匀地11分布在以原点为心,为半径的圆周上.（如图1.7）注意：复数的乘、除运算以及下面的幂(乘方)、开方运算用复数的三角形式或指数形式较简单.例2求的复指数表示式.解因为，所以(,,).提问：计算例3用复数三角表示计算.
5、解.例4解方程（1）；（2）（3）.（4）.解（1）可化为，方程的三个根为.（2）可化为，11为方程的三个根.（3）可化为，为方程的三个根.（4）可化为.例5求及(用与来表示).解：由棣莫弗公式知又比较两式的实部与虚部得,11.例6已知正三角形的两个顶点为与，求另一个顶点.分析：注意正三角形的几何特征与复数的几何意义所以或．练习：1．方程在复数范围内的全部解为．2．方程在复数范围内的全部解为 ．提问：1.任何复数都有模和幅角这种说法对吗？2.设,,试用指数形式表示和11.小结：1.在进行复数运算
6、时注意三角形式计算必须符合的要求.同时注意复数开方，开几次方则有几个根；开方时，以指数形式表示简单.2.两个三角形式的复数相等时,辐角可以相差的整数倍.3.利用复数的三角形式很容易解释复数乘法、除法、乘方的几何意义.4.解复方程时先将方程化为最简型，再开方.易犯错误：1.且复数开方运算时根表示易出错误.主要是特殊角的三角函数值不熟悉.2.解复方程错误多.作业：11
