复数的乘幂与方根.ppt

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1、复变函数与积分变换1第1章复数与复变函数复数的乘幂与方根区域21.3.1乘积与商定理1.1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。,3几何意义从几何上看,两复数对应的向量分别为复数相乘就是把模相乘,辐角相加.4如果用指数形式表示复数:由此逐步可证,如果5定理1.2两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有61.3.2幂与方根(a)n次幂:7(b)棣莫佛(DeMoivre)公式特别，当Z=(cosθ+isinθ)时，8设为已知复数，n为正整数，则称满足方程的所有w值为z的n次方根，并且记为设则9即当k＝

2、0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：1011例１：求解：因为所以例２：已知　，求解：因为12所以13例３：求解：14例４：求解：因为所以15即1+iw0w1w2w3Oxy结论：四个根是内接于中心在原点半径为　　的圆的正方形的四个顶点.16例５．解方程解：因为所以可求出６个根，分别是：171.4.1区域(函数的定义域)的概念（1）邻域Z0δ18（2）内点（3）开集如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.G19（4）区域如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(a)D是一个开集；(b)D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.z2z1

3、D不连通z1z220（5）边界点、边界设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.（6）闭区域区域D与它的边界一起构成闭区域.21说明(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(1)区域都是开的.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界不包含边界！22（7）有界区域和无界区域zxo有界！y23(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.241.4.2单连通域与多连通域平面曲线C的复数表

4、示:C的实参数方程C的复参数方程起点z()C终点z()zxyCC的正向：起点终点o25没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).重点重点重点换句话说,简单曲线自身不相交.26简单闭曲线的性质约当定理任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：I(C)E(C)边界（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（3）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C相交.（4）C是I(C)，E(C)的公共边界.27课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭

5、简单不闭不简单闭不简单不闭284.单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域29三、典型例题例1指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).30是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.31表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.在平面内，与两个定点的距离之和等于常数的轨迹叫做椭圆。32有界的单连通域.33例2解满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连

6、通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.34是多连通域.不是区域.3536单连通域.37继续完成课后练习！祝各位同学周末愉快！作业38