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《复数的乘幂、方根与区域》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、工程数学II课程教案授课时间：第周周第节课时安排2课次_2_授课方式（请打√）：理论课□讨论课□实验课□习题课□综合课□其他□授课题目（教学章、节或主题）：§1.3复数的乘幂与方根；§1.4区域．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．掌握复数的乘幂与方根；2．熟悉区域；简单（闭）曲线；单连通域与多连通域；教学重点及难点：重点：复数的乘幂与方根；难点：单连通域与多连通域．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§1.3复数的乘幂与方根一、乘积与商定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证设别为则，[证毕]从几何上看,两复数对应的向
2、量分别为时针方向旋转一个扩积。两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.说明由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.例如，设则只须则设复数数形式分别为则由此可将结论推广到n个复数相乘的情况:设定理2两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证按照商的定义,当时，设复数数形式分别为则[证毕]例1解因为，。例2两个顶点个顶点。解如图所示,将绕转个向量，它的终点即为所求的顶点因为复数为1，幅角为，。二、幂与根1.n次幂:n个相同复数的乘积称为的n次幂，记作。对数们定义当n为负整数时2.棣莫佛公式当z为已
3、知复数。，推导过程如下:设根据棣莫佛公式,显，当时，个当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.时，从几何上看,个点为中心，为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例3化简解例4计解，即例5计算解，即这四个根是内接于中心在原点，半径为的圆的正方形的四个顶点。例6解练证故原方程可写成：则。因为故原方程的根为例7为数求证：证利用复数相等可知:。等式得证。§1.4区域一、区域的概念1.邻域:为中心，（任意正数）为半径的圆：内部的点的集合称为的邻域。说明无穷远点在内且满足点的集合，其中实数，称为无穷远点的邻域。2.去心邻域:称由不等式所怯定的集合为的去心邻域。说明不无穷远点在内，仅点的集合，
4、其中实数，称为无穷远点的去心邻域。为3.内点:设为一平面点集，为中任意一点邻域，该邻域内的所有点都属于，则称为的内点。4.开集:如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.5.区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.6.边界点、边界:设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(2)区域D与它的边界一起构成闭区域区域邻域
5、边界边界点7.有界区域和无界区域:个区个点为中心的圆里面，区域D个点都满足称为则是无界的。课堂练习判断下列区域是否有界?(1)圆环域:(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.二、单连通域与多连通域1.连续曲线:两个连续的实函数，则方程组平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:。2.光滑曲线:连续的，且对值这曲线称为光滑的。由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.3.简单曲线:设一条连续曲线，别为C的起点和终点。对于满足当，点称为曲线的重点。没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).简单曲线C的起点和终点重合，曲线C
6、称为简单闭曲线。换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.边界外部内部课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭4.单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域三、典型例题例1指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解（1）当时，无界的单连通域(如图).，是角形域,无界的单连通域(如图).点为中心，半径为的圆的无界的多连通域.，，
7、表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹，是椭圆,表示该椭圆的内部，有界的单连通域.，边，双叶玫瑰线，内部，有界的单连通域.例2满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?解是一条平行于实轴的直线,不是区域.左线为中心，2为半径的去心园盘。是多连通域.端点，为1的线点不是区域.当时，因为圆属点集，单连通域.作业和思考题：第一章习题10；142),4)；15；212),4),6),8),9),10)；222),4),6),7),8)；23。课后小结：（1）应
