平面点集的一般概念

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1、第三节复平面上的点集一、复平面点集的一般概念二、区域三、平面曲线一、复平面点集的一般概念定义1邻域:记作:Nδ(z0)．Nδ(z0)={z

2、

3、z-z0

4、<δ}记作：Nδ0(z0)={z

5、0<

6、z-z0

7、<δ}即定义2内点、边界点、孤立点设有点集Ｇ及一点z0:若存在点z0的某邻域Nδ(z0)Ｇ则称z0为Ｇ的内点；若在z0的任意一个邻域内,都有属于Ｇ的点,也有不属于Ｇ的点,则称z0为Ｇ的边界点．点集Ｇ的全体边界点组成的集合称为Ｇ的边界.记为：Ｇ．即z0为Ｇ的孤立点δ>0:Nδ(z0)Ｇ={z0}若z0属于Ｇ，但在z0某邻域内除z0外不含Ｇ的点，则称z0

8、为G的孤立点．定义４有界集和无界集有界！zxyo如果Ｇ内每一点都是它的内点,那么Ｇ为开集．定义3开集与闭集平面上不属于Ｇ的点的全体称为Ｇ的余集；开集的余集称为闭集．或开集及其边界的并集称为闭集．二、区域定义5区域如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域．(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.D加上D的边界称为闭域，记为D＝D+D．z1z2D说明(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(1)区域都是开的.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界不包含边界！(1)圆环域:课堂练习判断下列区域

9、是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.平面曲线C的复数表示:C的实参数方程C的复参数方程起点z()终点z()CC的正向：起点终点zxyo三、平面曲线定义6连续曲线例如：复数形式为复数形式为或例1求下列方程所表示的曲线:解化简后得没有重点的曲线C称为简单曲线(或Jordan曲线).重点重点重点换句话说,简单曲线自身不相交.定义7简单曲线课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭简单闭曲线的性质约当定理任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集

10、.满足：I(C)E(C)边界（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（3）C是I(C),E(C)的公共边界.定义8光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.特点（1）光滑曲线上的各点都有切线（2）光滑曲线可以求长定义9单连通域与多连通域:复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于D,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多（复）连通域.单连通域多连通域解无界的单连通域(如图).例2指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.是角形域,

11、无界的单连通域(如图).无界的多连通域.表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.例3满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.是多连通域.不是区域.小结与思考应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域.