1-2 复平面点集

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1、第二节复平面上的点集1.2.1复平面点集的几个基本概念1.2.2区域与约当(Jordan)曲线1.2.3典型例题1.2.4小结与思考21.2.1复平面点集的几个基本概念定义1.1邻域:记作:N(z0)N(z0)={z

2、

3、z-z0

4、<}记作：N0(z0)={z

5、0<

6、z-z0

7、<}3定义1.2聚点、外点、孤立点如果z0属于E，但不是E的聚点，则称z0为E的孤立点.如果z0不属于E，又不是E的聚点，则称z0为E的外点.z0为E的孤立点>0:N(z0)E={z0}z0为E的外点>0:N(z0)E=所成的集合称为E的导集，用E表示4定义1.3内点:如果

8、E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.如果在z0的任意一个邻域内,都有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。z0为E的内点>0:N(z0)E点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为EPartialderivativesarerepresentedas∂y/∂x(where∂isarounded'd'knownasthe'partialderivativesymbol').Somepeoplepronouncethepartialderivativesymbolas'der'ratherthanthe'dee'usedforthestandardde

9、rivativesymbol,'d'.5定义1.4有界集和无界集:zxy有界！o6定义1.5区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.1.2.2区域与Jordan曲线D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+Dz1z2D1.区域:7说明(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(1)区域都是开的.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界不包含边界！8(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)

10、(4)无界.92定义1.7连续曲线:平面曲线C的复数表示:C的实参数方程C的复参数方程起点z()C终点z()zxyCC的正向：起点终点o10没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当Jordon曲线).重点重点重点换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线是z平面上的一个有界闭集.11简单闭曲线的性质Jordon定理任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：I(C)E(C)边界（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则

11、P必与C相交.（4）C是I(C)，E(C)的公共边界.123.光滑曲线:由有限条光滑曲线段依次相接所组成的曲线称为按段光滑曲线.特点（1）光滑曲线上的各点都有切线（2）光滑曲线可以求长13课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭144.单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于D,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域有洞的区域无洞的区域151.2.3典型例题例1指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).16

12、是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.17表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.18有界的单连通域.19例2解满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.20是多连通域.不是区域.2122单连通域.231.2.4小结与思考应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域.放映结束，按Esc退出.