§1平面点集与多元函数

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1、第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数(一)教学目的：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，了解的完备性，掌握二元及多元函数的定义．(二)教学内容：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；的完备性；二元及多元函数的定义．(1)基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及的完备性，掌握二元及多元函数的定义．(2)较高要求：掌握的完备性定理．(三)教学建议：(1)要求学生清楚地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关的概念，可布置适量习题．(2)有关的完备性定理的证明可对较好学生提出要求．——

2、——————————————————————平面点集:平面点集的表示:满足的条件P}.余集.1.常见平面点集:全平面:半平面,,,等.矩形域:,}.圆域:和.邻域:圆邻域和方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域的区别.一.点集拓扑的基本概念:内点：若存在点P的某邻域使得，则称P是集合E的内点。DEP外点：：若存在点P的某邻域，使得，则称P是集合E的外点。界点：若P的任何邻域内既有属于E的点，又有不属于E的点，则称点P是E的界点集合的内点,外点,界点不定.边界表示为.例1确定集的内点、外点集和边界.例2为Dirichlet函数.

3、确定集的内点、外点和界点集.定义（聚点）若P的任何空心邻域内都含有E中的的点，则称点P是E的聚点。定义（孤立点）:若存在，使得，则称点A是E的孤立点。孤立点必为界点.例3.确定集的聚点集.解的聚点集.开集：若E的每一个点都是E的内点，即时，称E为开集。闭集:若的聚点集，称为闭集。比如例1是开集，矩形域和}是闭集。存在非开非闭集，比如圆环；此外环约定和空集为既开又闭的点集.开区域：若非空开集E具有连通性，即E中任何两点都可以用一条完全含于E的有限折线链接起来，则称E为开区域。闭区域：开域连同其边界所构成的点集称为闭域。区域：开域、闭域，或者

4、开域连同其部分边界所构成的点集，统称区域。例如是开域；是闭域；既是开域又是闭域。（即Ⅰ，Ⅲ象限）xy>0虽然是开集，但不具有连通性，所以不是开域，也不是区域。有界集:对于平面点集E，若存在某一正数，使得则称E是有界点集，否则称为无界点集。例如均为无界集。两点的距离：点集的直径三角不等式：二中的完备性定理:定理16.1（Cauchy准则）平面点列收敛的充要条件是：对任意，存在时，对一切正整数p,都有先证{}为Cauchy列和均为Cauchy列.定理16.2(闭域套定理)设是中的闭域列，满足：P0i);ii)则存在唯一点定理16.3（聚点原理

5、）设为有界无限点集，则E在中至少有一个聚点。推论：有界无限点列，必存在收敛子；子列。定理16.4（有限复盖定理）设为有界闭域，为开域族，它们覆盖E（即），则在中必存在有限个开域，它们同样覆盖E（即）。三二元函数:1.二元函数的定义、记法、图象：例马鞍面球面zxy定义域：例1求定义域：i);ii).例5求二元函数的定义域解函数的定义域为二元函数求值:例6,求.例7,求.