平面点集与多元函数(I)

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1、第十六章多元函数的极限与连续§16.1平面点集与多元函数§16.2二元函数的极限§16.3二元函数的连续性1.简要介绍多元函数的概念(一元函数只依赖一个自变量，多元函数依赖多个自变量)。2.多元微积分是一元微积分的推广（①思想方法完全一致；②同样有：极限、函数、连续、导数、微分、积分几个部分；③许多结论可以完全类似地给出；但是，也有部分内容，多元与一元是不一样的。应当注意！）引　言3.二元函数是多元函数的代表（特别是在微分学中）。一元函数推广到二元函数，不论是本质上，还是形式上都不相同。差异较大。而二元函数推广到n元函数（n≥3）

2、，形式上稍有差异，本质相同。因此，二元函数有，书写简便，内容直观，又能反映出多元函数的特征。我们将重点研究二元函数。§16.1平面点集与多元函数一.平面点集:由平面解析几何知道，⑵矩形域⑶圆域：开圆，闭圆，圆环，圆的某个部分.特别极坐标表示圆域⑷角域：⑸简单域2.邻域注：圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.二.点集拓扑的基本概念:1.内点、外点和界点的内点、外点集和边界.内点外点集边界2.(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:3.(以包含不包含边界分为)开集和闭集:4.(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域5.有界集与无界集

3、:7.不等式：三.点列的极限:在实数(数轴上的点)的连续性理论中,有几个描述连续性的定理,这些定理可以推广成坐标平面上的点的连续性理论.其中有:闭区域套定理、柯西收敛准则、聚点定理（魏尔斯托拉斯定理）、有限覆盖定理。它们是极限理论的基础。1.Cauchy收敛准则:（与一元函数平行地有）2.闭集套定理:（与一元函数平行地有）3.聚点原理:Weierstrass聚点原理.（与一元函数平行地有）(自证)4.有限复盖定理:（与一元函数平行地有）五.二元函数:1.二元函数的定义、记法、图象：二元函数f的图象通常是一张曲面.f的定义域D便是这张曲面在x

4、oy平面上的投影.例如,图形如右图.例如,如左图球面.单值分支:2.定义域：问:多元函数的定义域的确定方法?例6求的定义域．解所求定义域为3.二元函数求值定义:若二元函数的值域是有界数集,则称此函数为有界函数；若二元函数的值域是无界数集，则称此函数为无界函数。