16-1平面点集与多元函数.ppt

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1、§1平面点集与多元函数§2二元函数的极限§3二元函数的连续第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数一平面点集三多元函数的概念一、平面点集1.邻域:以点X0=(x0,y0)为中心,以为半径的圆内部点的全体称为X0的邻域.即记Û(X0,)=U(X0,){X0},称为X0的去心邻域.如图X0X0U(X0,)Û(X0,)当不关心邻域半径时,简记为U(X0)和Û(X0).2.内点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域U(X0,)E,则称X0为E的内点.E的全体内点所成集合称为E的内部,记为E0.D={(x,y)

2、

3、x2+y21}如图xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是D的内点.但圆周上的点不是D的内点.x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)

4、x+y>0}易见,直线上方每一点都是D的内点.即D=D,但直线上的点不是D的内点.3.边界点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若X0的任何邻域U(X0,)内既有属于E的点,又有不属于E的点,则称X0为E的边界点.E的全体边界点所成集合称为E的边界.记作E.如,例1中定义域D的边界是直线x+y=0上点的全体.例2中定义域D的边界是单位圆周x2+y2=1上的

5、点的全体.如图xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoE的边界点可以是E中的点,也可以不是E中的点.D4.开集设E是一平面点集,若E中每一点都是E的内点.即EE0,则称E是一个开集.由于总有E0E,因此,EE0E=E0故也可说,比如,例1中D是开集,(D=D0),而例2中D不是开集.若E=E0,则称E是一个开集.规定,,R2为开集.xyoE又比如,E如图若E不包含边界,则E为开集.若E包含边界,则E不是开集.结论:非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都不是E的边界点.即E不含有E的边界点.证:必要性.设E为开集,XE,由开集定义知X

6、为E的内点.故X不是E的边界点.充分性.若E中每一点都不是E的边界点.要证E为开集.XE,由于X不是E的边界点.故必存在X的一个邻域U(X,),在这个邻域U(X,)内或者全是E中的点.或者全都不是E中的点,两者必居其一.由于XE,故后一情形不会发生.因此,U(X,)内必全是E中的点.故XE0,即,EE0,所以E是开集.5.连通集设E是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.如图XYE连通YXE不连通从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.E中的点都可用折线连接.例1,2中的D都是连通集

7、.如图x+y=0xyoxyo11x2+y2=16.开区域(开域)设E是一平面点集.比如,例1中D是开区域.如图.E从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.若E是连通的非空开集,则称E是开区域.7.闭区域(闭域)若E是开域,记称为闭区域.如图.E易见,例2中的D是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.8.设ER2,若存在r>0,使EU(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.易见,例1中D是无界集,它是无界开区域,而例2中D是有界集,它是有界闭区域.9.聚点.设E是平面点集,X

8、0是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E.则称X0是E的一个聚点.从几何上看,所谓X0是E的聚点是指在X0的附近聚集了无限多个E中的点.即,在X0的任意近傍都有无限多个E中的点.X0如图1.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有E中一个异于X0的点.则称X0为E的一个聚点.(自证).2.E的聚点X0可能属于E,也可能不属于E.3.E的内点一定是E的聚点.4.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.即,区域中的任一点都是该区域的聚点.一般,集合E的边界点不一定是E的聚点.但若E是开集,则E的边界点一定是E的聚点,自证.邻域,内点,

9、边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．（4）n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三

10、维空间)推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为n维空间中两