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1、§1平面点集与多元函数多元函数是一元函数的推广,它保留着一元函数的许多性质,同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.四、n元函数一、平面点集二、R2上的完备性定理三、二元函数一、平面点集※平面点集的一些基本概念由于二元函数的定坐标平面上满足某种条件P的点的集合,称为平对与平面上所有点之间建立起了一一对应.在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数义域是坐标平面上的点集,因此在讨论二元函数之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集,记作例如：(2)(3)图16–1(a)圆
2、C(b)矩形S图16–2(a)圆邻域(b)方邻域由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然),因此通常用“点A的邻用记号或来表示.点A的空心邻域是指:域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域,并注意:不要把上面的空心方邻域错写成:(请指出错在何处?)或并用记号来表示.※利用邻域来描述点和点集之间的关系以下三种关系之一:任意一点与任意一个点集之间必有是E的内点;由E的全体内点所构成的集合称为(i)内点——若则称点AE的内部,记作intE.(ii)外点——若则称点A是E的外点；由E的全体外点所构成的集合称为E的外部.(iii)界点——若恒有(其中),则称点A是E
3、的界点;由E的全体界点所构成的集合称为E的边界;记作注E的内点必定属于E;E的外点必定不属于E;E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意:只有当时,E的外部与才是两个相同的集合.图16–3例1设平面点集（见图16–3）于D;满足的一切点也是D的内点;满足的一切点是D的界点,它们都属满足的一切点都是D的界点,但它们都不属于D.点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.此外，还可按“疏-密”来区分，即在点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系:(i)聚点——若在点A的任何空心邻域内都含有E中的点，则称点A是点集E的聚点．注1聚点本身可能属于E，也可能不属于E.注
4、2聚点的上述定义等同于:“在点A的任何邻域内都含有E中的无穷多个点”.注3E的全体聚点所构成的集合称为E的导集,记作又称为E的闭包,记作例如,对于例1中的点集D,它的导集与闭包同为其中满足的那些聚点不属于D,而其余所有聚点都属于D.例1设平面点集（见图16–3）(ii)孤立点——若点,但不是E的聚点（即有某δ>0,使得则称点A是E的孤立点.注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.例2设点集显然,E中所有点(p,q)全为E的孤立点;并有※一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一些重要的点集.开集——若E所属的每一
5、点都是E的内点(即E=intE),则称E为开集.E为闭集.闭集——若E的所有聚点都属于E则称E为闭集.若E没有聚点这时也称例如前面列举的点集中,(2)式所示的C是开集;(3)式所示的S是闭集;(4)式所示的D既非开集,又非闭集;而(1)式所示的R2既是开集又是闭集.在平面点集中,只有R2与是既开又闭的.(2)(3)开域——若非空开集E具有连通性,即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接,则称E为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.闭域——开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域——开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合,统称为区域.不难证明:闭域必为闭集;而
6、闭集不一定为闭域.在前述诸例中,(2)式的C是开域,(3)式的S是闭域,(1)式的R2既是开域又是闭域,(4)式的D是区域(但既不是开域又不是闭域).又如(2)(3)它是I、III两象限之并集.虽然它是开集,但因不具有连通性,所以它既不是开域,也不是区域.有界点集——对于平面点集E,若使得其中O是坐标原点(也可以是其他固定点),则称E为有界点集.否则就为无界点集.前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)与(5)是无界集.E为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域(2)(3)此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集E的直径,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,
7、y1)与P2(x2,y2)之间的距离,即于是,当且仅当d(E)为有限值时,E为有界点集.根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式:二、R2上的完备性定理※平面点列的收敛性定义及柯西准则反映实数系完备性的几个等价定理,构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到R2,它们同样是二元函数极限理论的基础.定义1设为一列点,为一固定点.则称点列{Pn}收敛于点P0,记作同样地有由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.定理16.1(柯西准则)收敛的充要条件是:证（必
