§1.3集合之间的关系

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1、§1.3集合之间的关系预备知识集合的概念、基本数集重点子集、真子集、全集、补集的概念难点包含和真包含的区别学习要求掌握子集、真子集的概念了解全集、补集的概念会判定已给两个集合之间包含关系6在§1.3中曾经提到集合有“大”有“小”，集合的元素有“多”有“少”．这里的所谓“大小”、“多少”都是通俗用语，讲讲而已．是不是所有的集合之间都能作比较？如何准确地描述比较的结果？这些就是本节所要学习的内容．相信你一定能举出很多例子来，说明箭头反过来是不对的．1.集合的包含关系先考察你比较熟悉的基本数集．根据数的含义，我们知道有这样的关系：x是自然数Þx是整数Þx是有理

2、数Þx是实数．但所有的箭头反过来是不对的，例如肯定有理数不是自然数．用集合的语言来表示：任意xNÞxZ；但存在xÎZ,xÏN．(1)图1-5QNZR直观上说，整数集的元素比自然数集的元素多，或者说整数集比自然数集大，也就是说，整数集包含了自然数集；说得精确一些，整数集真包含了自然数集．在集合关系上，把这样的关系可以说成：自然数集是整数集的真子集，我们用符号表示为NÌZ或ZÉN．这里用两个简单的数学符号“Ì”,“É”表达了(1)所叙述的全部意思，至于采用其中的哪一个，全看你把真子集写在符号的哪一边．同理，因为任意xZÞxÎQ，但存在xÎQ,xÏZ，所以ZÌ

3、Q或QÉZ；因为任意xÎQÞxÎR，但存在xÎR,xÏQ，所以QÌR或RÉQ．把这些关系连在一起，可写成NÌZÌQÌR或RÉQÉZÉN．发挥维恩图能表示集合“大小”的特长，图1-5清楚不过地表示了这种包含关系．图1-6AB你能体会吗？集合之间大小,元素多寡只有用包含关系或子集关系才说得明白，否则例如有理数集,实数集元素都多得不可胜数,你说哪个元素更多？回到一般集合上．两个集合A,B，如果具有(1)那样的关系，即任意xÎAÞxÎB，但存在xÎB,xÏA，(1-3-1)那么就说集合B真包含了集合A，集合A是集合B的真子集，记作AÌB或BÉA．在维恩图上表示为

4、图1-6．集合的包含关系，或者说哪个集合是另一个集合的真子集，本质是比较集合的“大小”，比较集合元素的“多少”．因为空集内没有元素，哪个非空集合都能真包含它，所以空集是一切非空集合的真子集．例1讨论下列集合的包含关系：(1)A={本年天阴的日子}，B={本年天下雨的日子}；(2)A={x

5、xÎ本班且所有各门课成绩都不低于90分｝，B={x

6、xÎ6本班且仅有数学成绩不低于90分};(3)A={-2,-1,0,1,2,3}，B={-1,0,1}．解(1)因为两天必定是阴天，但阴天未必下雨，所以BÌA；(2)因为任意xÎAÞx的各门课成绩都不低于90分Þx的数

7、学成绩不低于90分ÞxÎB；但存在xÎB，他的数学成绩不低于90分，但有其他课成绩低于90分，这样xÏA，由此AÉB；(3)xÎBÞx=-1或0或1ÞxÎA；但存在x=-2ÎA,-2ÏB，所以AÉB．现在把例1(2)的集合B改变一下：B={x

8、xÎ本班且数学成绩不低于90分}，情况立即发生了变化：我们不能吃准在数学成绩不低于90分的学生中，有没有人其它学科成绩低于90分？于是作为判断B真包含A的条件(1-3-1)只剩下前一半：xÎAÞxÎB，(1-3-2)这就是说，只能判断集合A不可能比B“大”，即B一定包含了A，但是不能判断B一定是真正包含了A．维恩图

9、的缺点暴露出来了，图1-6很容易被误解为B真包含A．注意，没有了“真”字！回到一般的集合．两个集合Ａ,Ｂ，若其元素成立关系(1-3-2)，则就说集合B包含了集合A，集合A是集合B的子集，记作AÍB或BÊA，维恩图仍然如图1-6．以前说若两个集合含有的元素相同，则这两个集合相等．从包含关系来看，现在也可以改述为：若AÍB且BÍA，则A,B叫做相等．例2写出集合A={1,2,3}的所有非空真子集和非空子集你觉得把集合相等改述一下有意思吗？解集合A的所有非空真子集是：{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}；集合A的所有非空子集是：{1},{

10、2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}．例3用符号“Í”,“Ì”连接下面几个集合：A={一年内的晴天}；B={一年内发生降水的天}；C={一年内不发生降水的天}；D={一年内的阴天}．6解AÌC，BÌD．尽管集合A,B,C,D都是一年内发生各种天气现象的集合，但未必一定存在包含关系．课内练习１1.用“Í”,“Ì”,“Ê”,“É”连接下列集合对，(1)A={x

11、x为南京人}，B={x

12、x为江苏人}；(2)A=N,B=R；(3)A={1,2,3,4}，B={0,1,2,3,4,5}；(4)A={x

13、xÎ本校田径队}，B={x

14、xÎ本

15、校长跑队｝；(5)A={x

16、xÎ11月份公休日}，B=A={x

17、xÎ11月份的星