复变函数5.3解析函数在无穷远点的性质.ppt

《复变函数5.3解析函数在无穷远点的性质.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、5.3解析函数在无穷远点的性质一、点为孤立奇点的定义及分类二、点为孤立奇点的性质定义5.4设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域N-{∞}:+∞>

2、z

3、≥0内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,在去心邻域:(5.12)5.3解析函数在无穷远点的性质于是(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N-{∞},有扩充z平面上的原点的去心邻域;(2)在对应点z与z平面上,函数(3)或两个极限都不存在.定义5.5若z/=0为的可去奇点(解析点),m阶极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为f(z)的可去奇点(解析点),m阶极点或本性奇点.设在去

4、心邻域K-{0}:0<

5、z

6、<1/r内将展成罗朗阶数:令z=1/z,根据(5.12),则有其中(5.13)(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:0≤r<

7、z

8、<+∞内的罗朗展式.对应在z=0的主要部分,我们称为f(z)在z=∞的主要部分.(1)f(z)在z=∞的主要部分为(3)f(z)在z=的某去心邻域N-{∞}内有界.定理5.3(对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在z=的主要部分为零定理5.4(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m阶极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:定理5.

9、5(对应于定理5.5)f(z)的孤立奇点∞为极点的充要条件是定理5.6(对应于定理5.6)f(z)的孤立奇点∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成其中在z=∞的邻域N内解析,且(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m阶零点(只要令g(∞)=0).不等于零;(2)广义不存在(即当z趋向于∞时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).例5.11例5.12将多值函数的在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗阶数例5.14求出函数的全部奇点,并判断其类型(含∞点)例5.15问函数在z＝1的区新邻域内能

10、否展开为洛朗阶数例5.16设f(z)在0<

11、z-a

12、