解析函数在无穷远点的性质课件.ppt

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1、5.3解析函数在无穷远点的性质定义5.4设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域N-{∞}:+∞>

2、z

3、>r≥0内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,于是在去心邻域:(5.12)如果点∞是f(z)的奇点的聚点，就是非孤立奇点.(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;(2)在对应点z与z/上,函数(3)或两个极限都不存在.定义5.5若z/=0为的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为f(z)的

4、可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.设在去心邻域K-{0}:0<

5、z’

6、<1/r内将展成罗朗级数:令z/=1/z,根据(5.12),则有其中(5.13)(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:0≤r<

7、z

8、<+∞内的罗朗展式.对应在z’=0的主要部分,我们称为f(z)在z=∞的主要部分.定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:定理5.3/(对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(

9、1)f(z)在的主要部分为零;(2)(3)f(z)在的某去心邻域N-{∞}内有界.(1)f(z)在z=∞的主要部分为定理5.5’(对应于定理5.5)f(z)的孤立奇点∞为极点的充要条件是定理5.6’(对应于定理5.6)f(z)的孤立奇点∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成其中在z=∞的邻域N内解析,且(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令g(z)=0).不等于零;广义不存在(即当z趋向于∞时

10、f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).例1(2)补充例2：求出下列函数的奇点，并确定他们的类型（对于极点，要指出它们的级），对于无穷远点也要加以讨论。例3求出函数的全部奇点(含∞点),并判断其类型.例4问函数在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.例5设f(z)在0<

11、z-a

12、