第三节 解析函数在无穷远点的性质

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1、第三节解析函数在无穷远点的性质一、教学目标或要求：了解解析函数在无穷远点的性质二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数在无穷远点的性质重点：解析函数在无穷远点的性质难点：解析函数在无穷远点的性质三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：2－11§3解析函数在无穷远点的孤立奇点定义5.4设函数在无穷远点(去心)邻域内解析，则称点为的一个孤立奇点。设为孤立奇点,令，则在平面上的原点的去心邻域内解析,即为的孤立奇点。设为的孤立奇点，在的去心邻域内有则，称为在的Laurent展式，并称为在的主要

2、部分,为在的正则部分。定义5.5若为的可去奇点(解析点)、级极点或本性奇点,则相应地称为的可去奇点(解析点)、级极点或本性奇点。定理5.3’的孤立奇点为可去奇点充要条件以下条件之一：　　　　　　　(1)在的主要部分为0；　　　　　　　(2)　　　　　　　(3)在的某去心领域内有界。定理5.4’的孤立奇点为级极点的充要条件是以下条　　　　　　件之一：(1)在的主要部分为(2)在的某去心邻域内能表成　　　　　　　　　，其中在的邻域内解析，且；(3)以为级零点（只要令）。定理5.5’的孤立奇点为极点。定理5.6’的孤立奇点为本性奇点

3、的充要条件是以下条件之　　　　　　一成立：(1)在的主要部分有无穷多项；　　　　(2)不存在。例指出的奇点及类型。解的奇点为,由于,故为可去奇点。令，则,　　　　，故为的一级零点，从而为的一级极点。又当时，，故为的非孤立奇点。例把在的去心邻域内展成Laurent级数。分析若考虑，在内可以展开，但利用公式，展开整理时，比较麻烦。解　　　　　附若要求在展开，则　　例指出的奇点及类型。　　　解为的二级极点。对于，由于　　　　,且，故以为三级极点。的奇点为及故为的可去奇点。又不存在(理由与不存在的理由相同)，故为的本性奇点。例问在的去

4、心邻域内能否展成Laurent级数？解 　　　奇点为, 。由于为的聚点，故的的去心邻域内不能展成Laurent级数。例设在内解析，且不恒为零，若有一列异于但却以为聚点的零点，试证必为的本性奇点。证由于在内解析,故为的孤立奇点。若为的可去奇点，令，则在内解析。又由已知必为的非孤立零点，根据解析函数零点的孤立性，在内必恒为零，矛盾。　　若为的极点，则，从而，，，故在内不可能有零点，与已知为的某一列零点的聚点，矛盾。综上所述，必为的本性奇数。