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1、解析泛复变函数的性质夏晓丹学号:20101101890数学科学学院数学与应用数学专业2010级汉一班指导老师刘官厅摘要：关键词：1解析泛复变函数定义1川泛复数空间X的区域G中的毎一个点兀按照一种规律/在泛复数空间Y的区域D上有点y与之对应，就叫做在定义了一个泛复变算子f,当X=Y时，/称为泛复变函数•记为y=/(x)及f:GuXTDuY定义2山设&为泛复数X中的一个零因子，对—切形如的元素称为同类零因子集，其所在的集合G)称为0类零因子集；形如o0+c(c为常数)的集合可记为0+c,叫做与0距离c的平行集，或称为拟零因子集.定义3〔口泛复数空间X中的泛复函y
2、=/(0当
3、
4、心
5、
6、一0吋，若冇卜纲
7、0『tO,KAf(x)=/(x+Ax)-/(x)=/z(x)A¥+^Ax，其中广(兀)存在且唯一，则称函数.f(x)在点兀是可导的或可微的•在点兀及其邻域可导的函数，叫做在点兀是解析的.2解析泛复函的性质定理1山泛复数中，各类零因子以零点为公共极限点，即各类零因子经过零点连通.证明：设◎为泛复数X屮任意的某类零因子集，设处O,对火＞0,取此各，ll^ll则有Q孙=5制且沁0・即在零点的£邻域均存在零因子丹.由于0的任意性，即得在零点的任意£邻域均存在各类零因子.推论1山除实函和复函外，其它泛复函零点的任意邻域均含有无穷多
8、零因子点.定理2山除实函和复函外，其它泛复解析函数/(x)的奇点均非孤立.证明：设d为/(x)的奇点，且0(兀)=—!—=(兀-d)q(x)+厂，贝I"必为零或零因了./(x)否则/W=在点a的值为-，与Q为/(%)的奇点矛盾.(p(x)v(1)设广二0,&为零因子，令X=Q+(1£>0),贝
9、J/(X)=—!—=!—(p(x)£0(CI+£&)不存在，由£任意性，知。点的邻域中有连续的奇点(2)(2)设厂为零因了，令兀=d+£r(Ve>0)，贝iJf(x)=-^—=-f=](p(x)厂[占•q(a+£T)+1]也不存在，由£任意性，知d点的邻域中有连续的
10、奇点"・推论2山除实函和复函外，其它泛复解析函数奇点的任意邻域均含冇无穷多连续奇点.例1求椭圆双曲解析泛复函中/(X)二」一在点d的奇点集.x-a解：在椭圆双曲数中，(&+例)(1±力5,0为任意常数)为零因子，所以在奇点d的任意邻域中，均存在奇点集：x=a+£(a+(3i)(±j).定理3山0类零因子集在解析变换后的集合都是0类拟零因子集.证明：设co=f(0)是对&的一种解析变换，将/在解析点Q展成泰勒级数，得2!n=/«)_广@加+^^/_...+(_1)"广"〃《)丁+...+兄02!n二加+b(A,Z?均与0无关)由于对于0中的任意元素&,b
11、值均与0无关的定值，又由2&丘0,得/(&)所在的集合的元素为几O+b,即/(&)所在的集合为〃类拟零因了集.注：由定理得，在解析变换下，零因子集只能平移不能旋转或形变.推论3〔口如果/(兀)在零点解析，则零因子集0在解析变换后将0平移/(0).推论4川拟零因子集解析变换后是同类拟零因子集.例2川双曲平面解析变换^=z2=(x+7>)2将单位圆内区域映射成什么？零因子映射成什么？解:因单位圆z=cos(p+jsin(p,所有co-V-(cos(p+jsin(p)2=1+jsin2(p,又因为u=Rez2=x2+y2>0,v=Imz2=2xy,所以单位圆映射成
12、0v的角形区域.又因5=/(o)=o,所以原零因子集仍为原零因子集，单位圆内的零因子集2(1+/)及；1(1—刀,MF,贝IJ映射成连接原点与1+J及1-/的两线段.定理4山如呆两个泛复变函数/(x)、g(x)在它们解析的单连通区域G内非同类拟零因子无穷集合E上相等，且E在G内有极限点，那么/(兀)和g(x)在G内完全相等.证明：设兀()为E的极限点，且有展开式：/(x)=a0+a1(x-x0)4-a2(x-x0)2+…g(x)=h0+Z?1(x-x0)+b2(x-x0)2+…取£内的一个趋于兀。的序列灯(k=l,2,…)，由于.fO)和g(x
13、)在X。点解析,且fG)=g(§Q，取极限得/(x0)=g(x0),从而a0=b0.又因当兀二彳时，x-x()为非零因子，否则=x()+(x-x0)为同类拟零因子，与E为非同类拟零因子集矛盾•因此有Q]+。2(兀—兀0)+。3(兀—兀0)2+…=®+/?2(兀—兀°)+勾(兀—兀0)2+…，取极限得0】=勺,同理可得，对口2,都冇an=bn.因此在级数收敛的以兀°为屮心，&为半径的超球S。:卜一对S%上，/⑴三gCr).对于G内的任一点兀要证明/(兀)=g(x),可将x与兀。用曲线厶连通，然后取超球50:
14、卜-对<%与L的交点西为极限点，用上述方法同理可证在
15、超球5,:x-xj"中/(x)=g(x),以此类推,
