复变函数和解析函数

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1、数学物理方法数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。——（英）R.培根7/3/20211教材及指导书一、教材：胡嗣柱等编著，《数学物理方法》，第二版，北京大学出版社，2002年7月二、主要的参考书：于涛等编《数学物理方法知识要点与习题解析》，哈尔滨工程大学出版社，2007年6月成绩测定：作业20%＋上课出席参与10%＋考试70%联系方式：zyx@jiangnan.edu.cn7/3/20212课程讲授计划第一章复变函数和解析函数（5）第二章复变函数积分柯西定理和柯西公式（5）

2、第六章点源和瞬时源函数（2）第七章傅里叶变换和色散关系（6）第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8）第九章数学物理方程的定解问题（6）第十章行波法和分离变量法本征值问题（6）第十一章积分变换法（4）第十二章球坐标下的分离变量法（8）第十三章柱坐标下的分离变量法Bessel函数（8）7/3/20213上篇复变函数论复变函数论（theoryofcomplexfunctions）的目的：把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。7/3/20214主要内容:1复变函数和解析函数2复变函数积分柯西定理和柯西公式3复变函数级数泰勒级数和洛朗级

3、数等（自学）4解析函数（自学）5定积分的计算（自学）6δ函数其余拉普拉斯变换的内容（自学）7傅立叶变换和色散8线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数7/3/20215第一章复变函数和解析函数虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物。------戈特弗里德·莱布尼茨7/3/20216目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导必要条件、掌握解析函数的概念、函数解析的充要条件、复势的概念。教学重点：柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；教学难点：柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、复变函数解析的充要条件学习要求与内容提要7/

4、3/20217莱昂哈德·保罗·欧拉（LeonhardPaulEuler，1707年4月15日－1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉在数学的多个领域，包括微积分和图论都做出过重大发现。他引进的许多数学术语和书写格式，例如函数的记法"f(x)"，一直沿用至今。此外，他还在力学、光学和天文学等学科有突出的贡献。欧拉是18世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者，其文学著作约有60-80册。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献

5、：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”7/3/202181.0问题的提出负数有对数吗？Bernoulli：负数的对数是实数Leibniz：不可能有负数的对数只对正数成立Euler：在1747年指出差一常数1740年，Euler给Bernoulli的信中说：和是同一个微分方程的解，因此应该相等1743年，发表了Euler公式Euler把作为特殊的数7/3/20219(1).复数的代数形式对虚数单位的规定:1.1复数的基本概念显然，此方程在实数集中是无解的。1。2考虑解方程：-=x为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单位.1复数及其代

6、数运算i2=–17/3/202110定义i-虚数单位满足：i2=-1虚部记做：Imz=y实部记做：Rez=x{}称为为复数集,,

7、RyxiyxzzCÎ+==.,,为复数称对于iyxzRyx+=Î";,0,0称为纯虚数时当iyzyx=¹=.,0,0xixzy我们把它看作实数时当+==7/3/202111两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说:设：z1=x1+i·y1z2=x2+i·y2复数不能比较大小!!!7/3/20

8、2112（2）复平面表示与复数三角式复数的矢量表示法复数z=x+iy可以用平面上的一个点（x,y）或一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚轴，而把这种用来表示复数的平面叫复平面。oxyP(x,y)xy7/3/202113显然由复数的复平面表示，有下列各式成立复矢量的长度称为复数的模或绝对值如图：那么复数（复矢量）可以表示为复数的三角表示式oxyP(x,y)xy7/3/202114说明幅角不确定..arg,,,0=¹zzoPzz记作的幅角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在,0有无穷多个幅角任何一个复数¹z,是其中一个幅角如

9、果的全部幅角为那么z).(π2arg为任意整数kkz+=,0,0,==zz时当特殊地oxyP(x,y)xy