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1、§2初等解析函数例2.3及例2.4已经指出了多项式及有理分式函数的解析性。这一节和下一节将进一步讲复变数的初等函数，这些函数是数学分析中通常的初等函数在复数域中的自然推广。经过推广之后的初等函数，往往会获得一些新的性质。例如，复指数函数/是有周期的，函数sinz及cosz已不在是有界的，等等。1.指数函数由例2.9,我们知/z)=ex(cosy4-isiny)在z平面上解析,且/(z)=/(z)。进一步,还易验证/(Zj+z2)=/(z1)/(z2).因此,我们有理由给出下面定义。定义2・4对于任何复数z=x+iy,我们用关系式e~=e
2、x+,y=ex(cosy+isiny)来规定指数函数/对于复指数函数*,我们指出它具有如下的性质:(1)对于实数z=x(y=0)来说，我们的定义与通常实指数函数的定义是一致的。(2)ez=ex>0,argez=y在z平面上孑工0(3)，在z平面上解析，.K(ezy=ez(4)加法定理成立，即孑乜=ez>ez2(5)孑是以2加为基本周期的周期函数(注(i))因对任一整数z+2&加z2R加ze=ee=e2km这里(6)极限!型/不存在，即“无意义因当Z沿实轴趋于+OO时，“Too；当Z沿实轴趋于-co时，“TO注：(1)如一函数/(z)当Z
3、增加一个定值。时其值不变,即/(z+e)=/(z),则称/(Z)为周期函数，。称为Z的周期。如f(Z)的所有周期都是某一周期G的整倍数，则称。为/(z)的基本周期。(2)(2.9)式中，当z的实部x=Q时，就得到欧拉公式q-cosy+isiny所以(2.9)是欧拉公式的推广(3)因eze~z=e)=^从而(4)亘=ezrZ2ez幺z仅仅是一个记号，其意义如定义2.4,它没有幕的意义(5)虽然在Z平面上，ez=(R为整数)，但@了=0工0即不满足罗尔(Rolle)定理，故数学分析中的微分中的微分中值定理不能直接推广到复平而上来。不过，洛必达
4、(LHospital)法则在复平而上却是成立的(见本章习题2)例2.11对任意的复数z,若,贝IJ必有=2km(k为整数)证由假设，对z=0,0)=a+ib,就有(0te=e=1,q(cosZ?4-zsinh)=1于是aiecos/?+zsin/?=1所以a=Qfcosb=l,sin/?=0因此a=09b=2k/r(鸟为整数)故必有co=a+ih=2km(k为整数)1.三角函数与双曲函数由(2.9),当兀=0时推得0、=cosy+isiny,幺"=cosy一isiny这里左端表右端那个确定的复数，从而得到cosy=2对于任意的实数y成立。
5、这两个公式中的y代以任意复数z后，由(2.9),右端有意义，而左端尚无意义，因而我们给出如下定义定义2.5规定iz一亡iz一izsinz=———,cosz=°+°—,212并分别称为的z正弦函数和余弦函数这样定义的正弦和余弦函数具有如下性质：(1)对于Z为实数y来说，我们的定义与通常正弦及余弦函数的定义是一致的(2)在z平面上是解析的，且(sinz)‘=cosz,(cosz)‘=一sinz因为同理可证另一个(1)sinz是奇函数，cosz是偶函数，并遵从通常的三角恒等式：例如•221sinz+cos~z-1sin(z,+z2)=sinZ1
6、cos+cosZlsincos(Z]+z2)=COSZ1cosZ2一sinZ1sin,等等。2i”Z
7、+Z2)_T(Zi+Z2)2isin(Z
8、+Z2)="二sinZ1cos22+cosZ1sinZ2（4）sinz及cosz是以2兀为周期的周期函数因由定义2.5,cos(z+2/r)=z(2+2^)-Z(z+2^)e+幺2=cosz同理可证另一个(5)sinz的零点(即sinz=0的木艮)为z=nn(n—0,±1<-)COSZ的零点为：z=5+—）兀（兀=0,±1,…）2事实上，因为方程sinz=0可以写成e2iZ=］，如令z=Q+—9
9、/?9nrri故e」=,2a=2n7r(n=0,±l,...),即0=0,a—n7[{n=0,±l,...)所以z=mO=0,±,・・.)是sinz的零点(6)在复数域内不能再断言：sinz<1,cosz<1例如,取z=iy(y>0),贝iji(iy).-i(iy)-y.yycos(iy)==>—222只要y充分大，cosiy就可大于任一预先给定的正数例2.12求sin(l+2z)的值/(1+2/)-/(1+2/)-2+i2-isin(l+20e一幺=e一幺2i~2i-29e~(cos1+zsinl)-Q(cos1-zsin1)2i2-
10、22-2=°+"sinl+z—~—cos122=chisin1+ish2cos1例2.13对任意的复数z,若sin(z+⑵)=sinz,则必有:co=2k兀(£为整数)证由假设，有sin(z+
