《复变函数》教学课件-初等函数.ppt

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1、第二节初等函数一、指数函数二、对数函数三、幂函数四、三角函数和双曲函数五、小结与思考一、指数函数1.指数函数的定义:对于复变数z=x+iy，由关系式所确定的函数称为指数函数.2.指数函数的性质(1)指数函数在复平面处处不为零.(2)加法定理Exp(z)的图像z=4*cplxgrid(30);cplxmap(z,exp(z)).例1解k取任意整数例2解二、对数函数1.定义k=0时，称为对数函数的主值，记为lnz.其余各值为例4解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例5解例6解2.性质证(3)[证毕]利用C-R方程可以验

2、证，对数函数的各个分支在复平面上除去原点与负实轴外处处解析，并且（4）原因：有限个无穷集合相加，不一定是对应部分相加.(3)(4)错了例：决不会相等！！！原因Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加A={0,1}A+A={0,1,2}2A={0,2}A+A2A三、幂函数1.幂函数的定义注意:对于任意复数,当z0时，称为z的幂函数.(2)当时，单值函数.其导数为整个复平面上除原点和负实轴外处处解析.(3)也是一个n值函数.导数为各分支在除原点和负实轴的整个复平面上处处解析.(4)导数为例7解答案课堂练习例8解四、三角函数和双曲函数1.三角函数的

3、定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.定义：cos(z)的图像z=cplxgrid(30);cplxmap(z,sin(z)).性质：2.正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.4.有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式(注意：这是与实变函数完全不同的)其他复变数三角函数的定义例9解2.双曲函数的定义它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期的周期函数,34五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得35同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定

4、义六、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,放映结束，按Esc退出.作业：P2910,16,17