一道全国高中数学联赛试题的变式探究.pdf

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1、投稿邮箱：sxjk@vip.163.com数数学学教教学学通通讯讯（（中教等师教版）育）试题研究>试题探究一道全国高中数学联赛试题的变式探究刘建国宁夏银川市第二十四中学750001摘要：直线和圆锥曲线位置关系的相关问题是考查学生数学综合能力的主要载体，对相关问题的变式探￡中究也是培养学生数学基本思想方法、促进数学能力形成的重要途径.2013年全国高中数学联赛的等一道关于抛物线的试题是研究与直线、与抛物线位置关系有关的度量问题及轨迹问题的好素材.教育关键词：抛物线；变式探究；基本不等式与直线和圆锥曲线位置关系有关1116464=0，所以y·1y2=-8，所以S△OFA·S△OFB=·y）2=

2、（y2+y2+16）=2++16）≥212（y1的问题是各级竞赛及高考的热点问题,444y22同时也是考查学生数学综合能力的主OFy1y2=2.8，所以S+S≥222=△OFA△OFB√，当且仅当y1要载体,对相关问题的变式、探究是培评析：本题是2013年全国高中数学64，即y2=8时取“=”.养学生数学基本思想方法、形成数学能联赛一试的一道填空题，题目内容简洁y211力的重要途径.本文主要结合2013年全清晰，以学生比较熟悉的抛物线及向量变式2：求S△AOB的最小值.国数学联赛的一道试题重点研究与直的数量积运算为背景，主要考查学生综y线和抛物线位置关系有关的度量问题合运用坐标法和函数与方

3、程的思想进y2=4x及轨迹问题,其基本思想方法可以类比行分析问题、解决问题的能力，题目本A到直线与其他二次曲线的问题中.身容易上手，解题思路自然流畅.通过OFx引例：在平面直角坐标系xOy中,A,深入思考发现，本题的内涵丰富，对相BB两点在抛物线y2=4x上,且满足OA·OB=关问题的变式分析更是培养学生探究图2-4,F是抛物线的焦点,则S△OFA·S△OFB=能力的一个很好的素材.分析1：利用三角形的面积公式，将________.变式1：求S△OFA+S△OFB的最小值.△AOB的面积用直线AB的斜率表示，进y分析1：利用基本不等式及引例的y2=4x而解决其最小值问题.A结论可以确定△O

4、FA与△OFB面积和的解1：设直线AB的斜率为k（k≠0），FOx最小值，并能指出取到最值时A，B两点其方程为y=kx+b，代入y2=4x，得k·y2-4y+B的坐标.44b=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，解1：由引例可知S△OFA·S△OFB=2，所以k图14b分析：借助几何直观，学生不难发S△OFA+S△OFB≥2√S△OFA·S△OFB=2√2.y1y2=，k现△OFA与△OFB同底，所以它们面积当S△OFA=S△OFB，即y1=y2=2√211的乘积由A，B两点的纵坐标乘积的绝对所以S△AOB=AB·d=·时取等号，不妨取A（2，2√2），B（2，22值

5、决定.结合已知条件，可以利用向量数-2√2）时“=”成立.√1+k2·√（y2-4yy·b.1+y2）12量积运算的坐标表示及抛物线方程进分析2：将面积和的问题利用公式k2+1√行转化求解.转化为与A，B两点纵坐标有关的函数关4bb又y1y2==-8，所以S△AOB=·解：设A，B两点的坐标分别为A（x1，k2k系式，再结合基本不等式求解.y），B（x，y），则y2=4x，y2=4x，所以y2·y2=1221122121612解2：因为（S+S）2=（y+√（y1+y2）+32=+32>4√2.16xx.又xx+yy=-4，所以y2y2+16yy+△OFA△OFB1√k2121212121

6、2463试题研究>试题探究数学数学教教学学通通讯讯（（中教等师教版）育）投稿邮箱：sxjk@vip.163.com若直线AB没有斜率，则A，B两点关1OC·y+y=y2+y2+2yy为M（x0，y0），直线AB的斜率为k（k≠0），12√1212=2y于x轴对称，易知y1=y2=2√2，若取其方程为y=kx+b，易知b=-2k，且0·k=64x0A（2，22y2++16≥4√2，当且仅当y√），B（2，-2√2），则S△AOB=11=y2=2√y2x022-1，所以y0=-（x0-2），即（x0-1）+y=4√2，y002√2时取等号，不妨取A（2，2√2），所以S△AOB≥4√2，1（y

7、0≠0）.当直线AB没有斜率时，M的坐B（2，-2√2）时“=”成立.标为（2，0），满足方程，所以坐标原点在即S△AOB的最小值为4√2.变式3：求坐标原点在直线AB上的直线AB上的投影的轨迹方程为（x-1）2+分析2：由A，B两点纵坐标之间的关0投影的轨迹.y2=1，表示以抛物线y2=4x的焦点F（1，系及韦达定理可知直线AB恒过定点，由0y此可将△AOB分割为两个同底的小三角y2=4x0）为圆心，1为半径的圆.A形