高中数学 一道联赛试题的多种证法论

《高中数学 一道联赛试题的多种证法论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一道联赛题的多种证法2003年全国高中数学联赛第13题是关于不等式的证明,原题为：设3/2≤X≤5，证明不等式：＜2对于熟悉柯西不等式的学生，若对不等式左端稍加变形，这似乎是一道很简单的题目，本文将从《考纲》要求掌握的方法中归纳出它的一般证法。一、基本不等式法证法1：由基本不等式≥知：2=≤=≤==≤∴2++≤=＜2证法2：由基本不等式，≥及≤x≤5知2++=（+）+（+）＜2+2=(+)＜2=2≤2=2证法3：本证法也是联赛提供的标准答案，由基本不等式a2+b2≥2ab及（a+b+c+d）2=a2

2、+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)≤4(a2+b2+c2+d2)因此a+b+c+d≤2(当且仅当a=b=c=d时取等号)取a=b=，c=,d=,则2++≤2=2≤2因为,,不能同时相等，所以2++＜2二、分析法证：欲证原不等式+＜2（-）12-x+2＜4(20+x-2)又由基本不等式≥ab,有2≤2x-3+15-x=12-x故只需证明12-x＜40+2x-4,而12-x＜40+2x-44＜28+3x9x2-136x+480＞0于是只要证=9x2-136x+480恒大于0（≤

3、x≤5）因为的对轴x=,而区间在x=的左侧，∴在上单调递减，则≥（x∈），但＞0，故恒大于0（≤x≤5），进而原不等式成立。三、换元法证：∵≤x≤5，令x=+则有2++=+≤+（对后两项使用基本不等式）≤（再用基本不等式）≤=2（而上式等号不能同时成立）故原不等式成立四、构造函数法证：构造如下二次函数：=4t2-2(2++)t+(14+x)=2(t-)2+(t-)2+(t-)2∵、、在内不能相等，∴△=＜0即2++＜2≤2五、导数法新课程中引入了微积分，既显示了对简单性的追求，又拓宽了数学思维的途径

4、。这道题，我们可以利用导数所确定函数的凸性来证明。首先给出凸函数的有关定义与定理凸函数：如果定义在区间上Ⅰ上，且对任意的x1,，x2∈Ⅰ，以及λ∈恒有≤λ+（1-λ）称为Ⅰ上的凸函数。定理：若在（a,b）内＜0，则在（a,b）为凸的；若在（a,b）内，＞0，则在（a,b）为凹的。一般地，设在上，＜0，则对任意x1∈，λi∈（0，1）λi满足=1有≤证：设=，=-＜0在＜（0，+∞）上是凸函数。∴≤即≤=又≤∴2++≤+而+＜2故原不等式成立以上各种证法依次使用了基本不等式法，配方法，换元法及二次函数

5、的性质，简单，巧妙。证明过程看上去并不难，但必须具备坚实的“双基”，尤其利用导数对不等式的证明，使得对函数与方程的理解进入了一个运动变化的新天地。