一道常见试题变式的再思考.pdf

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1、波利亚指出：“掌握数学就是善于解题．”在实现数学教学目f—，一I，所以I9，16)；的的过程中，教师应适时引导学生从不同的方法、角度、思维方式去观察、联想、分析，根据问题的特定条件探索出一系列“i)当y∈(。，+。。)时，：16，由此得+的解题思路，培养学生的发散思维能力．所以一题多解的教学显得格外重要，它充分让学生自己思维，让学生整理，让学生在62—5∈[50探索中发现数学解题的本质，达到触类旁通的效果．，+)，故∈(16，251；下面，笔者通过对一道高中常见试题的变式的研究，对此综上可得∈[9，253，又因为『0，'IT1，故sin≥0，加以说明，希

2、望对读者有所帮助．COS≥0，所以Y∈[3，5]．例已知函数Y=4sin+3cos，∈l0，孚l，求该函数的【点评】上述方法借助构造齐次式，将问题转化为分式型函值域．数的值域问题，体现了转化的思想，达到了简化的效果!在教学中给出这道题时，学生很自然地给出下面这种做法：方法三：导数法方法一：辅助角公式Y=4cos一3sin，若=孚，则y=4；若≠孚，令Y<由辅助角公式得Y=5sin(x+妒)，其中tan=÷，37。+0，得tan>4，于是当(0，arctan丁4)时，y>0，函数在·90。，∈Z，又妒≤+≤+，故=3，于是(0，areran)上递增，sin

3、(+手)_c。s=4，所以yE[3，5]．反思：本题中的辅助角虽然不是特殊角，但前面的系数当(arctan丁4，手)时，yo，函数在e(arctan争，手)“4，3”都是较为特殊的数，因此对辅助角的取值是可以确定上递减，所以当tan=时，)，一=5，当=0时，=3，综的，所以借助以上方法可以解决．但对于更一般的角，如55。，上可得Y∈[3，5]．我们在确定端点值时就显得有点不知所措，这就需要我们结合【点评】作为求函数值域的强有力的工具，准确地求导，细各种知识，探究更多的解法，以便对这类题达到熟练解决．致地划分单调区间，是解决本题的关键所在．方法二：转化为

4、齐次式方法四：线性规划工一9eos~+24sincos+16sin，Si·l。，X+eOS。’，在三角函数值域问题中有一经典结构：sin—COS，sin+cos，结合不等式知识，我们不妨可考虑整体代换，即用sin一①若=，则，，=4；eO$和sin+COS线性表示出4sin+3cos．令4sin+3cos=②若≠"iT，对等号右边的分子、分母同除以cos，则=m(sin+COS)+n(sin—COS)，待定系数，解方程组可得m=l：16+，令f：24tan一7，￡≥手，n=参．令。=sin+COSX=、／sin(+'IT)，则。+tanl+tan[1，x

5、／~-]；令b=sin—c。s=sin一手)，则b∈_7’y=16+[一1，1]，所以原函数值域问题就转化为求Y：7。16的值i)当t=0时，=16；ii)7'0)时，y2=16+域，其中ⅡE[1，、／]，b∈[一1，1]，又因为+6：=2，故当t直线Y=一7x+经过点(一1，1)时，目标函数取得最小值，当[2o13年第11期]某础教育论增23新授课难点突破是课堂教学的关键环节，它直接影响到学究活动分3个层次，第一层次：引导学生通过画图、观察，认生对新知识的理解和掌握．如何突破新授课的难点?百度一下：识到一条弧所对的圆心角只有一个，而一条弧所对的圆周角有

6、重视情境设计；精心设计问题串；分散难点，各个击破；对比无数个．第二层次：探索圆心O与圆周角鲋C的三类位置关衬托，突出本质；揭示联系，指出区别⋯⋯各种方法策略众说系．第三层次：分类验证圆周角与圆心角之间的数量关系．纷纭．笔者经多年的教学实践和对比分析发现：以数学思想方法第一次教学为主线研究知识的发生和发展过程，积累知识研究过程中的活前面学生已经探究过圆周角一边经过圆心的特殊情形时两动经验并及时应用，能有效突破教学难点．角之间的关系．实物投影多个学生的画图，各种情况比较全面．《义务教育数学课程标准》(2011版)补充了：使学生理解和师：从大家的画图看，有何想

7、法?掌握“基本的数学思想和方法”，获得“基本的数学活动经验”⋯．生．：肪所对的圆心角只有一个，而魔所对的圆周角有无数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学数个，同弧所对圆周角等于圆心角的一半．学习的灵魂．数学思想方法是伴随学生知识、思维的发展逐渐被师：能对这个结论进行验证吗?理解的，数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的[2]．基于此，笔者用“思想方法引领，活动经验护航”来诠释突破难生：厶C的一边过圆心O的会做了，其它情况应该类似．点的策略合情又合理．现以苏科版九年级上册“5．3圆周角(1)”师：数学的验证是严谨的，请小组讨论后回答．难

8、点突破为例，展示改编前后的流程．生：根据它们的位置关系分三类，第一类如图①BAC