由一道联赛题的解法探究π的近似分数.pdf

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1、２０１５年第２期中学数学教学２５由一道联赛题的解法探究的π近似分数江苏省东台市安丰中学崔志荣（邮编：２２４２２１）1解法联想p由此设∈（０．１４，０．１５），则０．１４＜２０１４年全国高中数学联赛（福建省预赛）第qpp倡p＜０．１５，化简得p＞７m，当m＝１时，６题：若分数（p，q∈N）化成小数为＝７p＋mqqpmin＝８，qmin＝５７，０．１９８⋯，则当q取最小值时，p＋q＝．８１７９p１此时，的近似分数为３＋π＝．原解由＝０．１９８⋯＜，知q＞５p，记５７５７q５１７９q＝５p＋m（m为正整数），由５７＝３．１４０３⋯∈（３

2、．１４，３．１５），大家知于是p＝０．１９８⋯，从而０．１９８（５p＋２２５p＋m道的约率７＝３．１４２８⋯π∈（３．１４，３．１５），但m）＜p＜０．１９９（５p＋m），２２１７９的分母比小得多，这说明用原解法不能求则１９．８m＜p＜３９．８m，７５７当m＝１时，２０≤p≤３９，出符合近似要求且使分母q最小的近似分数，究其所以p取２０时，qmin＝１０１，p＋q＝１２１．原因，是该解法利用了p＜１进行放缩，导致的q７该解法主要运用了放缩思想，解题的巧妙之２２１近似分数取不到，而未得使分母q最小的的近处在于：运用放缩后引入参数m，

3、从而简化了７５似分数，这说明需要改进方法求的近似分数．运算．受此启发，笔者想到∈（３．１４１５９２６，３．π2解法改进１４１５９２７），能否运用该方法求的近似分数呢？π基于以上分析可知，如果不引入参数m进行p１于是设＝０．１４１５９２６⋯＜，则q＞７p，放缩，减少放缩次数，那么求解可能会更准确，通q７过反复思考，笔者将联赛题的解法改进如下：记q＝７p＋m（m为正整数），p同联赛题，笔者试图求符合近似要求且使分现解由０．１９８＜＝０．１９８⋯＜０．１９９，q母q最小的近似分数，首先，试求与的小数点后π１０００q１０００得＜＜，２位都

4、相等的近似分数．１９９p１９８要迅速判断其可行性，然后组织学生讨论，以师的课堂去感受他们驾驭课堂的大师风范，为提高生、生生互动的形式让学生自我决定其可行性，自己的课堂驾驭能力打下坚实的基础．随即展开解题活动；若学生同时呈现多种解法，则需要教师引导学生通过对多种方法的比对，确参考文献定最优解法以此来优化学生的思维．这就要求我１渠东剑．启发思维重于诱导结果［J］．中学数学教学参们的教师要不断充实自己的专业底气，使自己的考（上旬），２０１３，（１０）：５‐８教学更娴熟、更自然、更给力．在信息化高速发达２章建跃．中学数学课改的十个论题［J

5、］．中学数学教学参考（上旬），２０１０，（３）：２‐５的今天，我们可以通过订阅数学杂志、观看名师（收稿日期：２０１５‐０１‐２３）授课视频和参加名师讲座等途径来学习和品味名师、专家们的优秀教学案例，零距离走进他们２６中学数学教学２０１５年第２期７７即５．０２５p＜q＜５．０５１p，１０１０p＜q＜p，１４１５９２７１４１５９２６为使q最小，令q＝５p＋１，则０．０２５p＜１计算得＜０．０５１p，７．０６２５１０９９１０３p＜q＜７．０６２５１５９７８９５p，解得１９．６＜p＜４０，所以pmin＝２０，对应若令q＝７p＋１，则０．０

6、６２５１０９９１０３p＜１＜qmin＝１０１，从而p＋q＝１２１．０．０６２５１５９７８９５p，从而１５．９９５＜p＜１５．９９７，能否用改进后的解法求与的小数点π后２不存在整数p；位都相等的近似分数呢？若令q＝７p＋２，则０．０６２５１０９９１０３p＜２＜p１００为此设∈（０．１４，０．１５），则p＜q＜q１５０．０６２５１５９７８９５p，从而３１．９９１＜p＜３１．９９４，１００２１不存在整数p；p，即６p＋p＜q＜７p＋p，１４３７若令q＝７p＋３，则０．０６２５１０９９１０３p＜３＜故当p＝１时，qmin＝７，０．０６２５

7、１５９７８９５p，从而４７．９８７＜p＜４７．９９１，所以与的小数点后２位都π相等的近似分不存在整数p，数是２２．计算到此发现限制p的两个端点值非常接７近，不能逐次计算下去，可以跳过一些取值计算，这说明用改进后的方法求符合近似要求且在具体的运算中，笔者先后经历了令q＝７p＋分母最小的近似分数，准确性更高．以下笔者将１０，q＝７p＋１００，q＝７p＋２００，q＝７p＋３００，再运用此方法，求与的近似要求更高的近似πq＝７p＋２５０，q＝７p＋２４０等多次运算，具体过分数．程本文不再赘述，最终得到：3探究的近似分数π令q＝７p＋２４５

8、，则０．０６２５１０９９１０３p＜２４５３５５众所周知，祖冲之的密率与的小数点＜０．０６２５１５９７８π９５p，从而３９１８．９９８＜p＜１１３３９１９．３１１，存在整数p＝３９１９；后６位都相等，那么与的小数点后６位都相等π令q＝７p＋２４４，则