一道由考试题的解法探究.pdf

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1、第5朝初中数学教与学。中考之窗。一道由考试题的嬲法搽奔李玉荣(江苏省南京市金陵中学河西分校，210019)‘题目(2013南京)如图1，AD是00的．，0C=180。一0AD=90。．切线，切点为A，AB是00的弦，过点作BC即D上日C‘／／AD，交oO于点c，连结AC，过点c作CD／／．．C=MB．AB=AC，‘B=C．AB，交AD于点D．连结AO并延长交BC于点．．‘肘，交过点c的直线于点P，且cP=．．鲋C=2朋C．∞．叉。．肘DC=2G，(1)判断直线PG与6)0的位置关系，并．厶MoC=厶BAC．‘说明理由；。AB／／CD，．‘．／_BAC=LACD，。(2)若AB=9，B

2、C=6，求PC的长．．。DC=ACD．Ⅳ又’．’BCP：／_ACD，．MoC=LBCp．。’。。．0C+0CM=90。。。．．厶BCP+OCM=90o．·PcPC．．PCO=90。。即PC上OC．图1图2又’．。点c在圆D上，·．．直线Pc与圆D相切．解(1)直线PC与圆0相切．法一：如图2，连结CO并延长，交圆0于点Ⅳ，连结BN．D’’．A∥CD．．．．BAC=ACD．‘·．C=BNC．．．曰ⅣC=ACD．PC‘．‘厶BcP=厶ACD．．BNC：厶BCP．图3‘’．CN是圆0的直径，．’．CBN=90。，．厶BNC+厶BCN=90。(2)‘．’AD是圆0的切线，’．厶BCP+BCN

3、：90o．．．AD上0A。即DAD=90。．’’’．．．PCO=90。。即PC上OC．BC／／AD，’又点C在圆0上，．．0肘C：180。一OAD=90。。-．．直线PC与圆0相切．即0上BC，．‘．MC=日，’法二：如图3，连结OC．．．AB=AC．·‘．AD是圆0的切线，在RtAAMC中，。AC：90。．AC=AB=9．．．AD上OA，即OAD=90。．··．BC／／AD，·3l·初中数学教与学2014年pc：27MC=÷BC=3，．，由勾股定理，得AM：=了=6．D设圆0的半径为r，在RtAOMC中，OMC=90。．PCOM：AM—AO=6一r，图4MC：3，OC=r，由勾股定

4、理，得另解2如图5，作ME／／AC交PC于点OM+MC=OC．E，则LACB=EMC．~1(6一r)+3=r，又’．’AB／／CD，．‘．BAC：／_ACD．又LBAC=BCP．解得r=等．AMCE~"ABAC，．·．MC·=丽ME=EC．．在AOMC和AOCP中，，‘’．OMC=LOCP，MOC=COP，即==E_C’_·．．ME=2，EC_3．·．．AOMC"1"AOCP．=，‘．ME／／AC．．’．△PME△PAC，·=即斋．⋯丁27．．．篙卿吾=，Pc：亍27^／-．．思考上述求半径的过程与结果都比较复杂，能否不求半径另辟蹊径求PC呢?笔者悉心探究，给出了另几种解法，以飨读者

5、。。。思路1PC是APCM与APCA的公共边，点M在PA上，这使我们联想到构造“平行PECPC型相似三角形”求解．只需要过点或点P或图5图6点A边作平行线，就可以得到六种解法，较为简洁．另解3如图6，作PE／／AC交BC于点另解1如图4，分别延长PC、AD交于点E，则△PME—AAMC，E，则CE=AE．．丝一一‘‘‘‘EM—MC一’．BC／／AD，．‘．LACB=EAC，·设EM=，则．．等腰AABC一等腰AEAC，6PE：3x．PC=EC=3+．·==．．，‘．AB／／CD．．‘．BAC=LACD，’AE：CE=!．又C：BCP，．．‘‘．PE／／AC．．。．PEC=LACB，又

6、‘．。BC／／AD，．‘．APMC一△PAE，·APEC'~ACAB，．·．丽PE=EC．．，·PC即··莩3碡PC，即=字，解得=丁6，·32·第5J》9初中毅学教与学2721·尸c=3+丁6=丁27．．．·．—．篙PC=一一EMMC’P2C=争了，’‘．·Pc=丁27．。另解4如图7，作ME∥Pc交AC于点E，则EMC=PCB=／_ACD=／C．。又／_MCE=／_ACB，．‘．AMCE—ZXACB，·AC，即6=9=三=：．．一BCA8’。9，’‘．．CE=2，ME=3，AE=AC—C=7．oo~ME

7、lPC。．Z~AME、，、AAPC。思路2PC在RtZ~MCP中，注意到以P

8、C·=．．aE即3=扣Pc=丁27．为一边的Z．PCB=Z．BAC，可以考虑围绕另解5如图8，作朋∥MC交AC延长／_BAC构造一个与△MCP相似的三角形，利线于点层，则用比例求解．构造的方法是作垂线，解法较为EPC=P∞：／_ACD=／_BAC．简洁．／_PEC=／_ACB，．‘．△C一△A∞，另解7如图l0，作CE上AB于点E，则·．一．器曰C=AB=一PAEC御’6=一P9C=P9E‘cos日=嚣=BM’Rp=3，设pc=，则．．BE=2．AE：AB