从一道高考试题的命制到解法探究-论文.pdf

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1、中学数学杂志2014年第7期从一道高考试题的命制到解法探究山东省宁阳第一中学271400陈新伟1问题缘起lOyz——：1，因c>0，故上式方程表示焦点在轴上的题目(2014年辽宁理第16题)对于c>0，当y2非零实数口，b满足4a一2ab+4b一C=0且使椭圆．原题就等价于：已知+—lO—：1，探寻12n+6I最大时，三一_4十的最小值为．l3x+Yl取得最小值的条件．至此，求解解法就非常分析条件中，非零实数口，b满足的方程可化多了，利用柯西不等式、三角换元、△法、线性规划思为4a一2ab+4b。=c，令0)：4a一2

2、ab+46，其想等等，都是我们熟悉的，下面仅介绍本题的柯西不判别式A=(一26)一64b=一60b<0恒成立，则等式解法和解析几何中的A法，其它方法不再赘述．在人教A版《数学选修4—5》不等式选讲中，教．厂(0)恒大于0，c>0显然成立!此条件是口，b非零的必要条件，C>0的条件完全可以去掉．材介绍了二维形式的柯西不等式，即若口，b，C，d都戴再平教授在《数学习题理论》中曾提出，数学是实数，则(0+b)(C+d)≥(ttC+bd)，当且仅习题的条件必须是独立的、最少的，即不应有重复当ad=bc时，等号成立．的、多余的、

3、过剩的条件．但出于命题者的试题考查解法2通过以上分析，(3x+y)≤[(√)+目的，考虑到学生的接受能力，为了降低题目难度，可以允许一些条件保留，这是笔者认为多余条件允c~-f-6]旧+(门=c85⋯I=许存在的唯一理由．这．_问题仅是笔者个人愚见，值l3x+Yf．所以，当且仅当=5y时，I2a+b1=得商榷．从题目给出的多余条件c>0进行思考，我们会√詈，此时=6y,b=4y,c=16，故一詈+÷=得到很多意想不到的解法．11一=(一8)一2≥一2，当y=i1即c=2解法探究，解法1由题意，4a一2ab+46一c=0

4、可化为寻，。=丢，6=时，一4+÷的最小值为一2．音(2。+6)+音(23b)-c，~18(2¨b)2≤c，r6x10v解法3设：3+，，，J+’消去y即i2Ⅱ+6l≤√等，当且仅当2。=3b时，=3x+Y。得，96x一60zx+10z一C=0($)，由题意该方程有l2。+6I一=√詈，此时，。=3b，c=10b2，3一4+解，故A：90一96(10z2一c)≥O．PA：I：2，zz≤，÷=一一b=I—2z)J一2一≥-一2’5。≤√誓，即⋯：√警，此时z=±√詈，代入=寻，=时，一4+÷的最小值为一2．(j方程==±

5、，所以评注既然C>0显然成立，我们更关心4a一2ab+46=c左边的形式，抓住该问题的核心l2口+bI，对左边进行变形就感觉并非空穴来风，而3,／]07或一_一故是有章可循了．2、／1‘2v／l10c3~1o~分析l既然c>0显然成立，令口=+y，b=y一了+．丁‘)，了一丁，‘．2一y，此时2a+b=3x+y，则原方程可化简成+63+46：c变形为a~+b2-2ab~÷：()，我们发现，其实此等式是我们非常熟悉的代数表达式，可以联想到余弦定理中这样的格式．又因l2a+bl≤或’当lc时，丢一詈+÷：lO【l~／0D。

6、，等(一)_2，等号当且仅当c=寻时取得；三角形△Ac中，c。sc=1f3v／]l-OT，AB=，N2口+6最大’当I时，÷c+÷34lOc口D。时，求二一÷+二的最小值．，I6一—，根据正弦定理得：a=b=2>0．综上可知：当c=寻，。=寻，6=时，丢一+：所以SlnASlnS1nL／1．5的最小值为一2．n：sinA，6：sinB．从而2口+6：(2siNN4由题意显然口6>0时，f2n+6l取得最大，设2a+b=t，b=t一2a，代人条件方程得：24a一+sinB)，2sinA+sinB=2sinA+sin(A+

7、C)=18at+4t一c=0，A=一60t+96c≥0，故tmax：丢(9sinA+c。)=sin(A+)，其中在第2vql-OT12。+6I：—2Vi1~——一了，，两边平方得。：一象限，tan=9．可见当A+=詈时，(2。+三三，代入4。2—2Ⅱ6+46=c得：(2口删si⋯9=’=，一3b)=0，即2a：3b，不妨设a：3m，b=2m，c=4，9丢一詈+导=一=(一4卜22≥一。=·一。=丁。=2，此时m=1，即a=÷，6=丢，c=寻时，一詈十等．故丢一÷+÷=÷一2,／r~_(一)三的最小值为一2．2≥一2．所

8、以，当c=53一n=，，6=丢时，3一4评注解法4巧妙利用l2a+bI取得的最大值2,／~1利用l2Ⅱ+6I=—2,A-0T-中的十三的最小值为一2．—一一，Ⅱ，6，c关系，结评注这道题目也是由三角形中的问题演变合已知方程，进行代人消元，避免了解法3中的繁琐而来，不禁让人感到命题专家对此题的多角度理解，讨论，揭示了此题的考查核心，