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1、一道高考题的解法探究题目(2011年浙江卷)设x,y为实数，若4x2+y2+xy二1,则2x+y的最大值是[cd#3]・一、基本不等式法解令s=2x+y,则s2二[sx(](2x+y)2[]1[sx)]=_sx(]4x2+4xy+y2[]rx2+xy+y2[sx)]二l+[sx(]3xy[]4x2+xy+y2[sx)_二l+[sx(]3[][sx(]4x[]yEsx)]+[sx(]y[]x[sx)]+l[sx)]Wl+[sx(]3[]2[kf(][sx(]4x[]y[sx)]•[sx(]y[]x[sx)][kf)]+l[sx)]二'sx(]8[]5[sx)],当且仅当
2、[sx(]4x[]y[sx)]二[sx(]8[]5[sx)],即4x2=y2时等号成立，此时smax=[sx(]2[kf(]10[kf)][]5[sx)].点评本题通过构造二次分式型函数模型，并注意1的整体代换，利用基本不等式求解•二、判别式法解设2x+y=t,贝ljy=t—2x,代入4x2+y2+xy=l中，得6x2—3tx+t2—1=0.将它看作一个关于X的二次方程，由X是实数，知6=(3t)2—4X6X(t2—1)20,解得一[sx(]2[]5[sx)][kf(]10[kf)]WtW[sx(]2[]5[sx)][kf(]10[kf)].因此2x+y的最大值为tm
3、ax=[sx(]2[]5[sx)][kf(]10[kf)].点评考虑到题目的结构特征，将2x+y视为一个整体并引入参数t,进而通过消元把问题转化为二次方程有实数根的问题.三、配方法解由已知条件得(2x+y)2二l+3xy=1+[sx(]3[]2[sx)]X(2x)XyWl+[sx(]3[]2[sx)]([sx(]2x+y[]2[sx)])2,即(2x+y)2W[sx(]8[]5[sx)],故当x二[sx(]1[][kf(]10[kf)][sx)],y=[sx(]2[][kf(]10[kf)][sx)]时，另解由1二4x2+y2+xy=(2x+y)2一[sx(]3[]2
4、[sx)](2x)Xy三(2x+y)2一[sx(]3[]2[sx)]([sx(]2x+y[]2[sx)])2,解得2x+y的最大值为[sx(]2[]5[sx)][kf(]10[kf)](利用不等式)•点评本题解法关键是配方，然后根据结构特征运用基本不等式转化为解不等式问题，此法不仅简捷明快，而且锻炼了学生的解题思路・四、三角换元法解1=42+y2+xy=(2x+[sx(]y[]4[sx)])2+[sx(]15[]16[sx)]y2,设2x+[sx(]y[]4[sx)]=cos9,'sx(][kf(]15[kf)][]4[sx)]y=sin0,则2x-cos9一[sx(
5、]1[][kf(]15[kf)][sx)]sin9,y=[sx(]4[][kf(]15[kf)][sx)]sin8.所以2x+y二cos0+[sx(]3[][kf(]15[kf)][sx)]sin0="sx(][kf(]8[kf)][][kf(]5[kf)][sx)]sin(0+e)=[sx(]2[kf(]10[kf)][]5[sx)sin(0+©)W[sx(]2[kf(]10[kf)][]5[sx)],所以2x+y的最大值是[sx(]2[kf(]10[kf)][]5[sx)[•点评解答本题第一步配方很关键，接下来根须据结构特征采用三角换元顺令tan0二t,那么j2二
6、[sx(]t2+4t+4[]t2+t+4[sx)],利地将问题转化为三角函数问题来解决.五、极坐标法解将x=Pcos0,y=Psin0代入4x2+y2+xy=l中，化简得P2二[sx(]2[]5+3cos29+sin20[sx)].设3=2x+y,则CO2=(2x+y)2=_sx(]1[]2[sx)]p2(5+3cos20+4sin20)-_sx(]5+3cos20+4sin29[]5+3cos20+sin29Lsx)即(32—1)t2+(32—4)t+432—4=0.若32=1,则t二0,符合条件；若32—1H0,则由6二(32—4)2—16(32—1)2$0,二[
7、sx(]2[kf(]10[kf)][]5[sx)]・(]10[kf)][]5[sx)].综上可知(2x+y)max点评此题的解法很多，但用极坐标法求解别致新颖，应该是最简洁而优美的方法.该题的5种解法，以数学思想方法引领，从不同的角度切入，应用不同的数学知识，呈现不同的精彩，给人以美的享受.为此，笔者建议，加强高考题解法的研究，很有必要.练习题1.（1993年全国高中联赛题）若x,[wthz]r[wtbx],且有4x2一5xy+4y2=5,记s二x2+y2•求[sx（]1[]smax[sx）]+[sx（]1[]smin〕sx）]的值.（提示：将代人屮
