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1、一道高考题三类八种解法的探究2011年安省髙考理科第21题：设2〉0,点A的坐标为（1,1）,点〃在抛物线y=x2上运动，点0满足BQ=XQA,经过点0与兀轴垂直的肓线交抛物线于点M,点P满足QM求点P的轨迹方程。命题意图：木题考查肓线和抛物线的方程，平面向最的概念,性质与运算，动点轨迹方稈等基木知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学索养。本题解法灵活多样，又不失通性通法，体现了很高的命题艺术性，对学生的学习和老师的平时教学都有很好的指导作用。下面以本题三类最具代表性的解法略作分析。第一类：设点的坐标，
2、相关点代入法方法1：（利用向量相等的充要条件）解析：由师=2丽知三点在同一条垂直于兀轴的直线上，故可设Pgy）,0(x,y°),Mg兀2),则x2-yQ=^y-x2)f即y0=(l+2)x2①再设B(勺,九)，由BQ=AQA,即(%-xH,y0-yH)=2(1-x,1-y0)•；=(1+2)x—2②，=(1+2)儿—2③又・・・B点在抛物线上，・・・九二勺2④由①②③④得（I+几）［（1+2）x“一久刃一2=［（1+2）兀—2］~即(1+2)2x2-2(1+2)y-2=(l+2)2x2—22(1+2)x+A2,也即22(1+A)
3、x一2(1+2)y-2(2+l)=0，因为2>0,等式两边同时约去2(1+2)得2x-y-1=0.IP点轨迹方稈为y=2x-lo方法2：（利用定比分点坐标公式）由题意可设BU,,%,2）,VBQ=AQA,4（1,1）,・••由定比分点坐标公式得°（土2,迢土），再设由可7=2丽知三点在同一条垂直于尤轴的1+21+2直线上，・••兀=乞么，・••丙=（1+兄）兀⑤再结合定比分点坐标公式得1+/L,,+2y__L)1+21+2x.~+A.~__+2yr又TM点在抛物线上，・・・=(—)2化简得l+(l+2)y=2為+2⑥1+2I+/
4、1^将⑤式代入⑥式得1+(1+兄”二2(1+2)x-2,又・・・2>0・•・y=2兀一1即为P点轨迹。第二类：借助参数方程消参方法3：（利用定比分点坐标公式）由题意可设BU,,%,2）,VBQ=AQA,4（1,1）,・••由定比分点坐标公式得0（口2,互竺），再由QM=AMP^Q,M,P三点在同一条垂肯于兀轴的肓线上,1+21+2又也点在抛物线上，W晋，（晋）55-丄再由定比分点坐标公式得）切=归孕，・•・儿=叫也+）切%1+2无「+免即y—1+21+2_
5、_(兀
6、+')2_J_f(兀]+2)_石+久]•p—A1+21+/12+
7、2X[—12(%
8、+A)—(I+A)23+2)-(1+2)'消去参裁‘%得"2廿1,BUpXj2）,由方法3可知:X]+2-1+22X
9、+2—11+2•••P点轨迹方程为y=2x-.方法4：设P(xp,yp),_唇(1")兀—一(l+心—+1「、—n.=>]._(]+2))»-2+1=>(1+2)»_2二>yP=2xp-1Xi―z2・・・P点轨迹方程为）=2尤-1。第三类：设直线方程方法5:(思路1消参数2)J4(1,1),・•・由题意可设直线AB方程为:y"—R+l代入抛物线y=X，中得十一fcr+£-1=0,.11=k一1
10、,即xB=k-,・・・3伙一1,伙一1)2),又由莎=兄丽知2耐,卩三点在同一条垂直于x轴的肓线上,故可设P(x,y),2(x,y0),M(x,x2),/•yQ=kx-k+l,x2-kx+k-=2(y-x2),・•・几—kx+k—1厂、=o—⑦y一对，•—r—£+]再由BQ=AQA得乳一鸟+1=2(1-兀)，・・・/1=⑧，由⑦⑧得-xx-k+\-x'—kx+—1兀一£+1(x—k+l)(x—1)oz八2=o二＞,=0二＞y对=(Xl)J)'一兀・-xy-即y=2兀一1,・•・P点轨迹方程为y=2兀一1。方法6：(思路
11、2消参数£)由方法5可知：x—k+l=/l(l—x),・・・£=(l+/l)x—2+1代入至U2-kji^k-=A(y-x2)屮得2/U—；l=2y,又U＞0,:.y=2x-f故P点的轨迹方程为y=2x-l。方法7：(思路3)由题意可设3(兀］,坷2),又VA(l,l),A可设直线43方程为：x2—1y-l=一(x-1),即y=(兀］+1)(兀_1)+1=(西+1)兀_兀「由题意可设P(x,y),则召-1M(x,%2),Q(x,(x}+l)x-Xj),由BQ=AQA得无一兀］=免(1一兀)，免二一。1-x又・・•页7=2丽
12、，・・・扌一(為+1)兀+州=2(y—F),(x-Xj)(x-1)=~•(y-x2)即y_兀2=-(x-l)2,l-x■・・・P点的轨迹方程为y=2x-o方法8：(思路4)由题意可设PCs”)，Q(召,y°)，MCxpXj2),V2M=2MP,・•・xf_y(
