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1、一道初中几何试题的命制［摘要］本文从一道南京中考试题出发，探寻其不同的解法，分别从不同的角度分析编制意图・笔者结合自身教学实践经验及基于对初中几何题的特点理解，进行原创设计，在命题中得到感悟、提升.［关键词］初中几何题；命制几何题是教师与学生最难以把握的富含数学思维的题目.笔者翻阅了近几年的南京中考卷，翻出一道南京2013年中考卷的第25题，笔者由此题的解法出发，从四个角度谈这道题的编制意图，最后再编制出一道相关题，谈一谈几何试题命制过程的感悟真题重现试题如图1,AD是圆O的切线，切点为A,AB是圆O的弦，过点B作BC
2、
3、AD,交圆O于点C,连接AC,过点C作C
4、D
5、
6、AB,交AD于点D,连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且ZBCP二ZACD.(1)判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.解法探究根据题意，我们通过作辅助线(主要是连接CO,BO及延长CO与圆O交于点N）可以证得题中存在三个等腰三角形，分别是△OBC,AOAC和AOAB.通过等量代换，得ZBCP+ZBCO=90°,（1）题得证.当然，由（1）题证得的结论，可以证得图中存在四个直角三角形，分别是△OMC,△CMP,AOCPNBC,且互为相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，可求得CP的长.解法1（常
7、规思路，通用解法）（1）直线PC与圆O相切，理由如下：如图2,连接CO并延长，交圆O于点N,连接BN.因为AB
8、
9、CD,所以ZBAC=ZACD.因为ZBAC=ZBNC,所以ZBNC二ZACD.因为ZBCP二ZACD,所以ZBNC=ZBCP.因为CN是圆O的直径，所以ZCBN=900.所以ZBNC+ZBCN=90°.所以ZBCP+ZBCN=90°.所以ZPCO=90°,即PC丄OC.又点C在圆O上，所以直线PC与O相切.(2)因为AD是圆O的切线，所以AD丄OA,即ZOAD=90°.因为BC
10、
11、AD,所以ZOMC=180°OAD=90°,即OM丄BC.所以MC=M
12、B.所以AB=AC.在RtAAMC中，因为ZAMC=90°,AC=AB=9,MC=BC=3,由勾股定理得AM===6.设圆O的半径为「，在RtAOMC中,因为ZOMC=90°,OM=AM-AO=6-r,MC=3,OC=r,由勾股定理得OM2+MC2=OC2,即(6-r)2+32=2解得r=.在AOMC和厶OCP中，因？楞？OMC=ZOCP=90°,ZMOC=nCOP,所以△OMC-^OCP.所以二，即二，解得PC二.解法2（观察图形，化劾静（1）直线PC与圆相切，理由如下：如图3,连蟻C.因为AD是圆的切线,所以AD丄OA,即nOAD=90°.因为BC
13、
14、AD,
15、所以nOMC=180°-^OAD=90°,即0M丄BC.所以MC=MB.所以AB=AC.所以nMAB=nMAC.所以nBAC=2nMAC.又因为nM0C=2nMAC,所以nMOC二nBAC.因为AB
16、
17、CD,所以nBAC=nACD.所以nMOC二nACD.又因为nBCP二nACD,所以nMOC二nBCP.因为nMOC+nOCM=90°,所以nBCP+nOCM=90°,即nPCO=90°.所以PC丄0C.又因为践在圆上，所以直线PC与圆相切.(2)在RMAMC中，因为nAMC=90°,AC=AB=9,MC=BC=3,由勾股定理得AM===6.®的半径为r,在RMO
18、MC中，因为nOMC=90。，OM=AM-AO=6-r,MC=3,OC=r,由勾股定理得OM2+MC2=OC2,即(6-r)2+32=r2,解得「二.在△OMC和公OCP中，因为nOMC=nOCP=90。，nMOC二nCOP,所以△OMC-△OCP.所以二，即二，解得PC=.对试题多角柢1.从《课标》视角蹇（1）此题反映了数学课程标准让学生掌握的昨础知识和基本技能；能培养学生的抽象思维能力和推理能力；能培养学生的创新意识和实践能力(2)此题考查的核心内容有：会用二次根式(根号下仅限于数)进行有关的简单四则运算；会用平行线的性质定理；掌握三角形内角和定理的推论；掌
19、握等腰三角形的性质定理；理解圆周角的概念，以及圆周角定理及推理；了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系；了解相似三角形的判定定理与相似三角形的性(3)此题突出对考生学科能力的考查,把学习内容作为一个辅助因素，不仅考虑学生学习内容的覆盖面，更多的是考查学生所学知识的综合素质.主要考查了问题探究能力、几何推理能力、问题迁移能力、多角度解决问题的能力、复杂数据的计算能力•(4)此题突出考查了基本思想方法和学科素养.此题考查了数形结合思想、转化思想•在数学课程中，应当注重培养学生的学科素养•此题关注下面一些数学学科素养的考查，如推理能力、几
20、何直观、运算能力、应用意
