一道月考试题的命制过程

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1、一道月考试题的命制过程　　1.命题设想：把要考查的知识要点和要求设计成有关的问题和语言文字.　　根据月考范围和要求，想命制一道函数的定义域与值域相等的数学压轴问题，其中不考查函数的导数知识.　　2.上网检索：输入有关问题的关键词得到相应的母题.　　母题1对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：　　①f（x）在D上单调递增或单调递减；　　②存在区间[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f（x）（x∈D）叫做闭函数.　　（1）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的

2、区间[a，b]；　　（2）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；　　（3）判断函数f（x）=2x-lgx，x∈（0，+∞）是否为闭函数？并说明理由；　　（4）若f（x）=k+x+2是闭函数，求实数k的取值范围；　　（5）判断函数f（x）=lgx，x∈（0，+∞）是否为闭函数？并说明理由；　　（6）是否存在实数m，使函数h（x）=x3-3x2+mx是R上的闭函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.　　（7）找出所有形如f（x）=ax+blnx的函数，使其在[1，25]上是闭函数，且条件②中

3、[a，b]=[1，25].　　母题2对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：　　①f（x）在[m，n]内是单调函数；　　②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n].则称[m，n]是该函数的“和谐区间”.　　（Ⅰ）求证：函数y=g（x）=3-5x不存在和谐区间.　　（Ⅱ）若函数y=（a2+a）x-1a2x（a∈R，a≠0）有和谐区间[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值.　　（Ⅲ）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”.试再举一例有“和谐区间”的函

4、数，并写出它的一个“和谐区间”.（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=bx+cax的函数为例）　　母题3设f（x）=ax2+bx，　　（Ⅰ）当a=-1，b=2时，求f（x）的定义域和值域　　（Ⅱ）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同.　　母题4已知函数f（x）=1-1x.　　（Ⅰ）是否存在实数a、b（a

5、定义域是[a、b]，值域是[ma、mb]（m≠0），求实数m的取值范围.　　3.归纳分析：对母题的背景进行综合对比并归类.　　通过分析，试题背景可以分为三种类型　　（Ⅰ）函数在定义域内为严格单调函数，求解或判断函数定义域的子区间满足相应的条件.　　（Ⅱ）函数在定义域内存在增减区间，但研究的定义域子区间是严格单调，求解或判断函数定义域的单调子区间满足相应的条件.　　（Ⅲ）函数在定义域内存在增减区间，研究的定义域子区间也存在增减区间，求解或判断函数定义域与值域满足相应的条件.　　4.难度定位：对相应的题型确定难度

6、系数　　根据母题的知识和方法考查，估计类型（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）难度系数大约分别为05、04、03.　　5.题设细化：把母题中的题设分组，并分解其知识要点、表现形式、思维切入、方法导入等环节.　　（Ⅰ）考查的函数是否单调，是否含参为依托，　　（Ⅱ）考查的函数的解析式变形为切口，　　（Ⅲ）满足条件的区间是否存在为条件.　　6.问题分类：从基础题、中档题、压轴题角度改变题目中的变量与知量的位置、数量，并挖掘试题中隐含的条件与结论等手段进行设置，其中改变含参个数、分类区间位置、讨论单调类型与包装解析式等都可以调整试

7、题的难度范围.　　（Ⅰ）基础题――已知不含参数的单调函数，直接写出或求出满足条件的区间，其中改变函数的解析式可以调整试题的难度范围.　　（Ⅱ）中档题――判断已知不含参数的函数是否存在满足条件的区间，并说明理由，其中改变函数的单调性与解析式可以调整试题的难度范围.　　（Ⅲ）压轴题――已知含参数的函数存在满足条件的区间，求解参数的取值范围，并挖掘区间长度等相关问题，其中改变含参个数、分类区间位置、讨论单调类型与包装解析式等都可以调整试题的难度范围.　　7.母题改编：从试题的背景、立意、分类、组合、转化等方面进行反

8、复调整、包装、研磨、试验等.　　以类型（Ⅱ）为例，且不考查函数的导数知识.　　改编1求解简单的减（或增）函数的和谐区间；构造含参的分段且有增减区间函数，判断其和谐区间，并拓展区间端点变量的最值.　　对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：　　①f（x）在[m，n]内是单调函数；　　②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n].则称[m，n]是该函数的“和谐区间