一道函数导数质检试题的命制过程与教学启示

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1、一道函数导数质检试题的命制过程与教学启示发表于《数学通讯》2013.7/83∗1试题（2013年泉州市质检理科21题）已知函数f(x)=x−nx−1(x>0)，n∈N．n（Ⅰ）求函数f(x)的极值；3（Ⅱ）判断函数f(x)在区间(n,n+1)上零点的个数，并给予n证明；（Ⅲ）阅读右边的程序框图，请结合试题背景简要描述其算法功能，并求出执行框图所表达的算法后输出的n值．2命制过程他山之石可以攻玉！研究他省高考试题或模拟考试题，借用他人的命题背景、借鉴他人的命题手法是常见的一种命题方法.在平时的试题研究中，笔者研究了2012年高

2、考陕西卷第21题：n“设函数fx()=x+bxc+(n∈Nbc,,∈R)．n+⎛1⎞（Ⅰ）设n≥2，b=1,c=−1，证明：fx()在区间,1内存在唯一的零点；n⎜⎟⎝2⎠（Ⅱ）设n=2，若对任意xx,∈−[1,1]，有

3、fx()−fx()

4、4≤，求b的取值范围；122122⎛1⎞（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设x是fx()在,1内的零点，判断数列xx,,⋯,x⋯的增减性.”nn⎜⎟23n⎝2⎠笔者欲参考此题进行试题编制.上述试题中，以n为参数构造了一个过定点的函数族，并在此函数族的基础上展开研究，在（Ⅰ）中主要考查函数的零点，在

5、（Ⅱ）中主要考查了二次函数的值域问题，在（Ⅲ）中考查了数列的单调性问题.“以n为参数构造出过定点的函数族”是一种较新的命题方法，值得借鉴，因此笔者考虑3改变参数n的位置，构造出函数f(x)=x−nx−1(x>0)，并以此为载体展开思考；同时，n在解答题中“函数的零点”也是一个较新的考查点，因此笔者打算把函数单调性判断与函数的零点融合在一起，与2012年高考福建文科卷压轴题中零点的个数问题类似，意在强调思维的严谨性及表达的规范性.于是生成了初稿中的第（Ⅱ）问；接着，如何让问题继续进行下去呢？笔者思考，既然函数f(x)的零点为a

6、，是否可以转换方向，对数列{a}的性质进行研nnn究呢？这样就能使（Ⅱ）（Ⅲ）两步有一定的关联性，同时，也有相对的独立性，这样的话学生在（Ⅱ）未能得解的前提下，也能对（Ⅲ）展开研究.由（Ⅱ）知，n0)，n∈N.n（Ⅰ）求函数f(x)的极值；3（Ⅱ）证明

7、：函数f(x)在区间(n,n+1)上有唯一零点a；nn（Ⅲ）在（Ⅱ）前提下，设bn为方程fn(x)=x的解，试比较n+2−bn与n+−1an的大小.初稿定稿后，感觉存在的主要问题有：（1）在第（Ⅱ）问中，考查的是“证明问题”，这类问题比较缺乏探究的味道，同时，学生在答题时也容易“走江湖”，考查目标是否达成，在评价中难以体现，也给评卷带来一定的困难；（2）在第（Ⅲ）问中，要对n+2−b与n+−1a的大小进行比较，难度偏大；nn（3）试题考查知识点较为单一.为了解决上述问题，进一步完善试题，经过众命题老师的多次研讨.拟把第（Ⅱ）

8、问改为了“判断函数f(x)在区间(n,n+1)上零点的个数，并给予证明”，使问题具有一定的开nn+n+1放性，具有探究的味道；把第（Ⅲ）问改为研究a与区间(n,n+1)的中点的n2关系，以适当降低试题的难度，同时，在问题中融入算法框图这一知识点，以呼应2011年泉州市质检理科第题19题（本题为立体几何与算法框图交汇的应用题，可参阅2011年泉州市质检理科卷），延续泉州质检的命题风格.3解题思路32在（Ⅰ）中，把n=3代入，得f(x)=x−3x−1，求导得f′(x)=3x−3，所以当x>133时，f′(x)>0；当0

9、，f′(x)<0.所以当x=1时，f(x)取得极小值−3，无极333大值.在（Ⅱ）中，把区间(n,n+1)的左右端点分别代入函数fn(x)的解析式并判断其符号可得：fn(n)<0，fn(n+1)>0，所以fn(n)⋅fn(n+1)<0，由函数零点存在定理可得，函数f(x)在区间(n,n+1)上必定存在零点；为进一步说明该函数零点的唯一性，n2我们需判断函数的单调性，由f′(x)=3x−n知，当x∈(n,n+1)时，f′(x)>0，所nn以f(x)在区间(n,n+1)上单调递增，所以函数f(x)在区间(n,n+1)上的零点最n

10、n多一个.综上知：函数f(x)在区间(n,n+1)上存在唯一零点．n在（Ⅲ）中，由程序框图可知，其算法的功能是：找出最小的正整数n,使fx()的零点annn+n+1满足≥a.下面我们来求解满足条件的a.由（Ⅱ）知f(x)在区间nnn2n+n+1(n,n+1)上单调递增，因此要比较,an的大