一道中考压轴题的命制过程及考后的反思

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1、一道中考压轴题的命制过程及考后的反思葛建华（教育厅教研室）施巍（兴庆区教师发展中心）摘要：中考试题具有选拔、评价、引导、促进教学等功能．2014年宁夏中考压轴题，以学生熟悉的一道试题为素材，改变、添加适当的图形条件，变“静态”为“动态’，把观察、探究、计算结合在一起，设置蕴含直角三角形、三角形相似、三角形全等、二次函数的逐次递进的问题，通过不断尝试形成试题．从数学思维角度分析，含有数形结合、化归转化等数学思想，达到了有效考查学生基本数学素养的目的．关键词：中考压轴题；命制；反思笔者参与命制了2014年宁夏中考试卷，

2、其中一道压轴题命制的心路历程和阅卷后的反思，现整理成文与大家交流分享．一、素材选择根据试卷双向细目表，所命制的试题为压轴题，应设计为以几何问题为背景，与动态探究相结合的综合性问题，把观察、探究、计算结合在一起，使其蕴含直角三角形、三角形相似、三角形全等、二次函数的相关知识及数形结合、转化等数学思想．基于以上思考，笔者以下面一道学生熟悉的试题为素材进行改编．原题：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E．若AC=6，BC=8，求CD的长．作为中考试题的压轴题，一是要关注核心内容；二

3、是试题背景要为学生所熟悉，以体现考试的公平性；三是要适度创新，在学生熟悉的背景下，将静态问题改编成动态问题，考查学生综合应用知识的能力，达到区分不同层次学生的目的．二、试题改编过程函数与变化过程紧密相关，要与函数相联系，需弱化原题的条件，变定点D为动点．点D在CB上运动、其它条件不变时，∠CAD、∠EAD、∠ADC、∠ADE、∠ADB、∠BDE的大小随之发生变化，△ACD、△ADB、△ADE、△BED的面积也随之发生变化．其中△ACD、△ADB、△ADE、△BED中不变的角有∠C、∠B、∠AED，∠BED．考虑到△

4、ACD与△ADB的高AC=6（常数），其面积是关于另一直角边（变量）的一次函数，△ADE与△BDE的两直角边都能用某一变量表示出来，其面积是关于某一变量的二次函数，且用某一变量表示直角三角形两边时都要用到相似三角形的性质，因而初步改变如下：改变1：如图，在Rt中，∠C=90°，AC=3,BC=4．P是BC边上的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）点P在BC边上运动时，是否都有△PBQ∽△ABC；解：（1）点P运动到点B（与点B重合）时，△PBQ变为一点，此时△PBQ∽△ABC不成立；5点P在BC上运

5、动、不与点B重合时，都有∠PQB=∠C=90°∠B=∠B∴点P与点B重合时，△PBQ∽△ABC不成立；点P在BC边上运动，但不与点B重合时，都有△PBQ∽△ABC．说明：改编（1）小题的目的是为（2）小题建立二次函数模型作铺垫，考虑到第（1）小题就让学生分类讨论解决问题，起点较高，思维不缜密的学生容易失分．为了降低难度，在改变1的条件中加“P是BC边上不同于点B的一动点”．原题中求CD的长，改变后变为求PB的长．若设PB=，利用三角形相似得出△PBQ关于的二次函数表达式是S△BPQ=，二次项系数＞0，从已知条件中知

6、P是BC边上不同于B的动点，学生利用已有的知识最小值求不出，最大值是点P运动到与点C重合时△BCQ的面积，达不到预期考查利用配方法或公式法求最值（最大值或最小值）的目的，因而进一步改编为：改变2：如图，在Rt中，∠C=90°，AC=3,BC=4．P是BC边上不同于点B的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；解（2）：设BP=（0＜≤4），由勾股定理，得AB=5∵△PBQ∽△ABC∴，即∴S

7、△APQ====∴当时，△APQ的面积最大，最大值是-说明：（1）小题关注思维能力弱的学生，起点低，有利于学生进入解题状态，（2）小题考查的要求有所提高，有难度，但甄别选拔区分度不够，为此将上述改变2中的主干条件“AC=3,BC=4”改变为（2）小题的条件，补充（3）小题，以增加核心知识、思维能力及分类思想的考查．（3）在Rt中，是否存在满足关系式BC=AC的，使Rt△AQP既与由A、C、P组成的直角三角形全等，也与由B、Q、P组成的直角三角形全等．如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．解：分下面四种情况考虑

8、①是否存在满足关系式BC=AC的，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等假设存在满足关系式BC=AC的，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等∵Rt△AQP≌Rt△ACP∴AQ=AC又Rt△AQP≌Rt△BQP∴AQ=QB∴AQ=QB=AC5在Rt中，由勾股定理，得∴BC=AC∴=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与