由一道习题展开的探究

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1、由一道习题展开的探宄江苏高邮市三垛中学陈传勇椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成.运用椭圆与圆之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗？通过师牛.对上道习题的共同研究，同学们认识到椭圆、双曲线、抛物线都可以看作是圆按照某种方式演化的结果.这时教者不失时机的引导他们：既是这样，那么圆的弦和切线的诸多性质，例如：(1)圆的弦的中点与圆心的连线与该弦互相垂直；(2)过圆x2+y2=r2上一点(xO々O)的切线方程为xx0+yy0=r2;(3)构成圆周角是直角的两条弦的斜率之

2、积为-1，即设P,A,B是圆上的三点，如果，则A、0、B三点共线.反过来，如果A、0、B三点共线，则kpa.kpb=-l等.通过类比辻移到圆锥曲线，乂会得到什么样的结论呢？上述问题问得新奇，问题的结论应该是肯定的，而课木中乂无解释，立即引起学生一探其究的强烈欲望.经过各小组充分讨论，汇总为以下几个问题：问题1椭圆(a>b>0)的弦AB垂直于椭圆的一条对称轴时，则弦中点M与椭圆中心0的连线0M⊥AB,若不然则它们的斜率有kAB.K0M=?问题2双曲线(a>0,b>；0)

3、的弦AB垂直于双曲线的一条对称轴时，则弦中点M与双曲线中心0的连线0M⊥AB,若不然则它们的斜率有KAB.K0M=?问题3过椭圆上的一点T(X0,丫0)(xO≠±a)的切线L的方程？问题4过双曲线上的一点T(X0,Y0)(xO≠±a)的切线的方程？问题5对椭圆，设A、B是椭圆在x轴上的两个顶点(椭圆的一条特殊的直径)，P(X0,Y0)中椭圆上异于A，B的任一点，则kpa.kpb=?对双曲线，结论又如何？带着这几个问题，师生共同探宄：命题1:是椭圆//

4、//的任一弦线(与坐标轴平行的弦除外，以下同略)的斜率与中心和弦中点连线斜率之积.［略证］设直线I交椭圆两点为A(xl?yl),B(x2,y2),AB中点为G,则G()，由A,B在椭圆上可得：显然，当直线I与椭圆相切吋，G就成为切点，故有：推论1:是椭圆/的任一切线斜率与中心和切点连线斜率之积.命题2:是双曲线的任一弦线斜率与中心和弦中点连线斜率之积.证明原理同命题1(从略)，同样，当弦线成为切线吋，其中点G就为切点，故仍有：推论2:是双曲线的任一切线斜率与中心和切点连线斜率之积.命题3过椭圆上的

5、点T(xOyO)的切线I的方程.命题4过双曲线上的点T(xoyo)(非顶点外任•一点)的切线I的方程.(推导从略)命题5:设，为椭圆上的三点，其中0为椭圆的中心，如果定义AB是椭圆的一条直径(A、0、B三点共线)，则，反过来，如果，则A、0、B三点共线(AB是椭圆的一条直径).［证明h设，为椭圆上的三点，因为AB过中心0,所以x2=-xl,y2=-yl,即B点坐标为B(-xl,-yl).反之，设p(xO、yo)A(xl,yl)B(x2,y2)，为椭圆上的三点，kpa.kpb存在且则，由已知所以又与(

6、*)式比较得：化简得：故三点p(xO,yO)A(-xl,-yl)B(x2,y2),共线I,又因为A'(-X1,-Y1>在椭圆上，所以点A*(-xl,-yl)与B(x2,y2)重合，显然A(xl、yl｝与A*(-xl,-yl｝关于原点对称，故弦AB过中心0,即AB为椭圆的一条直径.类似可证，对于双曲线，也有类似的性质：命题6:设，为双曲线上的三点，其中0为双曲线的中心，如果定义AB是双曲线的一条直径(A、0、B三点共线)，则；反过来，如果，则A、0、B三点共线(AB是双曲线的一条直径)(证明同上略)教

7、学启示：1.这一堂探究课通过由圆的性质类比迁移到圆锥曲线，得到了许多有用的结论，学生既扩大了知识面，又增强了学习数学的兴趣，得到了数学美的熏陶.它以课堂为起点，又把课堂向外延伸、扩展；它以教材为基础，又从教材中走出来，使学生视野更开阔，使学生学会了如何在其他情境中也能迁移和利用教材中已有的知识.2.从教学策略的视角看，新课程强调把教学策略建立在学生身上，更为关注学生“怎样才能知道”，教学方法上提侣学生借助问题研究，通过探究促进学生对知识的理解运用；通过探究“让学生自己学会并进而会学”，促进学生更好地

8、发展.教师要善于挖掘和凭借学生的知识经验来展开教学，引导、启发学生依据自己知识经验的逻辑性，提出数学问题，使数学学4真正成为学生自觉的兴趣和需要.