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1、一道联赛压轴题的的背景与解法分析刻智琪(深圳市松泉中学518019)对于高考复习和竞赛辅导，怎样才能做到冇的放矢，怎样才能做到高效率地复习，怎样才能以最快的速度提高学生的解题能力和思维水平，这是广大屮学生和数学老师普遍关注的当前小学数学教育的一大主题口标，所以，作为我们老师就应在以上诸方面多多研究，努力攻关，才能使教无定法，学无常法的精神落到实处，笔者认为，教给学生一些处理问题的发现过程和方法，使学生真切领会研究数学的全过程，使他们从学生时代起就接受搞数学研究的教育，学会研究数学的方法，才能使他们在数学学习领域走得更好一些、更远一些。在平吋的数学教学屮，我们认为，展示
2、问题的来龙去脉、发展变化，是求得教学高效率的一条重要途径.下面我们以2002年全国高中联赛一题为例來阐述笔者在数学竞赛辅导方面的一点简单做法，供感兴趣的读者参考.1.赛题及其解法分析2002年全国高屮联赛一试第三大题(木卷压轴题)15题为：设二次函数f(x)二ax'+bx+c(a,b,cGR,a7^0),满足条件：⑴当xER时,f(x—4)=f(2—x),且f(x)2x;(2)当xG(0,2)时,f(x)W(凹尸；2(3)f(x)在R上的最小值为0.求最大的m(m>l),使得存在tWR,只要xe[1,m],就冇f(x+t)Wx.分析：该题本身具有一定抽象性和概括性，一
3、般学生较难理解，命题人又给出了一种更富抽象性的纯代数的解答，笔者将其介绍给学生，经过讲解，较好的学生对题口和解答仍颇感困惑，为此笔者对此题进行了研究，结合二次函数图象给出一种学生容易理解并能掌握的常用方法——数形结合法，出此也揭示命题的本质，使学生在求解本题的过程中看清问题的演绎过程.由条件⑴知所述二次函数图象的对称轴为x二$=/(%)Y-1,即x二一2二一1,所以，2ab=2a,f(x)=ax2+2ax+c=a(x+1)2+c~a,再考虑条件(3)知4>0,且a二c.所以，f(x)=a(x+l)2.又据⑴、(2)知l^f(l)=4a^(—)2,于是沪丄，24从而f(
4、x)二丄(x+l)l4要使xe[l,m]时，冇f(x+t)Wx,即在区间[l,m](m>l)上函数y二f(x+t)的图像位于函数y二x的图像的下方，由图像平移法则知，应有K0,即需将y二f(x)的图像向右平移一I个长度单位，要(*)成立，由图像可知，只要f(l+t)Wl,(1)月.f(m+t)Wm,(2)由仃)知—4WtW0；由⑵知—2(1—t)m+(t?+2t+l)W0,解得1—t—J-4fWmWl—t+J-4f,注意到一4WtW0,所以mW1—t+J_4fW1—(—4)+J_4•(-4)=9,即在t=—4时，，对于x丘[1,9],恒有f(x—4)Wx.评析：这一解
5、法依图形來理解，靠图形來说话，最终以图形來化解矛盾达到简易理解走出思维低谷，取得化难为易的功效.1.试题的背景和分析下而的两个背景题口都是当前高考复习资料上广为流行的,相信最近几年从事高三数学教学的老师都非常熟悉，读者不难从这两道题口摸索到2002年这道竞赛一试压轴题的来历.背景1・已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c^R,aHO),满足条件:f(-1)=0对xWR都有f(x)2x,且当xU(0,2)时,f(x)W(旦)；求f⑴及f(x)的表达式.2解：由条件知l^f(l)^(—)2=1,即f(l)=l.2于是0二f(T)二a-b+c(1)ftl=f(l
6、)=a+b+c乂对于xWR都有f(x)Mx,即ax2+(b-l)x+c^0对于xWR恒成立，所以a>0A=(Z?-1)2-4ac<0a>0ac>—16由⑴,(2),⑶知a>O,c>O,a+c冷，所以由二元均值不等式知ac誌.(4)结合(3)及(4)中不等式等号成立的条件知a=c=i,及4b=-(5)2所以,f(x)二丄x'+丄x+丄二丄(x+l)14244背景2.已知函数f(x)二ax'+bx+c的图像经过点(-1,0),是否存在常数a,b,c使得不等式1+V-2xWf(x)W—对于一切实数x都成立？2对于本题的求解读者可仿照背景1得到:f(X)二丄(x+l)14评述
7、：由上而两道背景题不难看出，2002年的这道赛题是站在这两道背景题的肩膀上将函数图象向右平移后,使得图像落在直线y二x的下方，再求得所要满足的条件，由此而得本赛题.笔者曾在文［1］对2000年全国高中数学联赛一试压轴题(—4,0)15题的来源作过探讨，相信早已冇Z的竞赛命题的这一方向还会持续下去，这就给我们竞赛辅导提供了一个强有力的信息一一通常的竞赛辅导不能放过任意一道有价值的而暂时看來还很平常的问题，应该站在已经求解的基础上再向前多迈儿步，这样，一方面教给了学生解题的方法，同时学生又掌握了发现新的数学问题的套路，使其学习水平达到较高层次。顺便指出，
