一道三角题的多种解法与“弦图”背景

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1、一道三角题的多种解法与“弦图”背景湖北省阳新县高级中学　邹生书题目以的斜边为一边向形外作正方形，设，求证:. 这是笔者从华中师范大学彭翕成老师的博客中看到的一道题目，该题首先是由彭老师发给史嘉老师的并且要求用向量进行解答，然后史嘉老师将此题发到人教网上征求解答，引起网友们的强烈反响和热烈参与，解法多种多样精彩纷呈，笔者从中受益匪浅，现将有关解法和本人的肤浅体会整理成文与大家分享. 一、路漫漫其修远兮，吾将上下而求索  图1 证法1如图1，过点作于点交于点，设，设正方形的边长为1，则，，. 于是.同理，.由余弦

2、定理得， ， ，  图2 . 由上易证. 证法2以的中点为坐标原点建立直角坐标系如图2所示，设正方形的边长为2.依题意点在以为直径的上半圆上，设点的坐标为.由向量夹角公式知，要证.只要证，只要证.  由，得.由，， 得. 所以. 又， ， . 所以， 所以，故. 证法3以的中点为坐标原点建立直角坐标系如图2所示，设正方形的边长为2，依题意点在以为直径的上半圆上，设点的坐标为. 因为，所以要证，只要证，即要证，两边同除以，则只要证.由到角公式得，   . 故. 二、“弦图”背景——会当临绝顶，一览众山小 该题文

3、字简洁解法多样且背景深厚.上述证法运算量较大，若将其补成一个正方形如图3所示，补形后不仅图形对称完美，而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观. 证法4同法2只要证.如图3，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设直线  图3 相交于点，易证四边形是正方形， 且四个角上的四个直角形全等，此图就是我国古代数 学家赵爽用于证明勾股定理的“弦图”. 设，则，则. 由向量数量积的几何意义得， ， ， 所以. . 所以.所以. 故. 证法5同法4补形成正方形，由直角三角形的边角关系得，，所以.由余弦定理得， . 综上

4、. 证法6如图3，因为，所以要证，只要证 ，即要证. 而， ，所以， 故. 证法7同法6只要证，两边同除以，则只要证，而，故.  赵爽弦图 2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展.赵爽的“弦图”隐含了勾股定理的两种面积证法，其证法如下: 证法1由“弦图”知，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积减去4个两直角边为的三角形面积，即. 证法2由“弦图”知，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积加上4个两直角边为的三角形面积，即.  赵爽的“

5、弦图”证法优美精巧是证明勾股定理最著名的证法之一，特别是“弦图”一图蕴涵两种证法更是举世无双.“弦图”是证明勾股定理的无字证明，充分体现了我国古代的数学文明和数学文化，本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美，而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观，使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵.