【数学分析课件@北师大】10三角级数.pdf

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1、级数三角级数与Fourier展开1三角级数的意义和定义•欧氏空间的“极限”形式—Hilbert空间•级数理论的初始问题之一•具有广泛的应用2三角级数定义∞•形式为a0∑()+acosnx+bsinnxnn2n=1的函数项级数,Ω=[-π,π](2π周期函数)•其第n个部分和:naa00∑()S(x)=,∀n≥1,S(x)=+acoskx+bsinkx0nkk22k=13三角函数系1T=,coskx,sinkx:k=1,2,2•三角函数的正交性:ϕ,ψ∈T,ϕ≠ψπ∫−ϕψ=0π4三角级数的收敛性•三角级数的收敛性概念:–点态收敛:•点点收敛•几乎点点收敛•一致收敛–

2、依范数收敛或平均收敛:•L收敛:依L(-π,π)范数收敛•Lp收敛:依Lp(-π,π)范数收敛5Fourier级数•设ƒ∈L(−π,π).称1πa(f)=f(x)cosnxdx,n=0,1,n∫π−π1πb(f)=f(x)sinxdx,n=1,n∫π−π为ƒ的Fourier系数;称∞a(f)0∑()(*)+a(f)cosnx+b(f)sinnxnn2n=1为ƒ的Fourier级数6一致收敛性与Fourier级数•若三角级数∞a0∑()+acosnx+bsinnxnn2n=1在[−π,π]上一致收敛到ƒ,则它是ƒ的Fourier级数.•证明:利用三角函数系T的正交性和逐项积分.

3、7Riemann-Lebesgue引理•设ƒ∈L(−π,π).那么ππλlim→∞∫−πf(x)cosλxdx=λlim→∞∫−πf(x)sinλxdx=0•证明:若ƒ在[−π,π]上有一阶连续导数,则ππf(x)sinλx∫f(x)cosλxdx=−πλ−π1π−∫f′(x)sinλxdx→0(λ→∞)λ−π一般情况,利用光滑函数在L(−π,π)中对ƒ的逼近就可以了#8Bessel不等式•设ƒ∈L(−π,π).那么2∞1π2a(f)22∫0∑()f(x)dx≥+a(f)+b(f)nnπ−π2n=1•证明:若左边的积分为无穷大,则这个不等式成立.下面设积分有限.利用恒等式()22

4、2f−S(f)=f−2fS(f)+S(f)nnn然后在两边在(−π,π)上积分除以π就行了#9Fourier部分和•设ƒ∈L(−π,π).其第n个Fourier部分和:n1π1Sn(f)(x)=∫f(t)+∑cosk(x−t)dtπ−π2k=11π=f(t)D(x−t)dt∫nπ−π其中1sinn+tn12Dn(t)=+∑coskt=21k=12sint210Fourier部分和(续)•我们总可以假设ƒ是2π周期函数,由此可以把ƒ的第n个Fourier部分和写成1πS(f)(x)=f(x−t)D(t)dtn∫−nππ记2π周期函数可积函数的全体为L2π.•

5、卷积:设ƒ,g是2π周期函数1πf∗g(x)=∫−f(x−t)g(t)dtππ11Fourier级数的局部化原理•设ƒ∈L2π,δ>0,x0∈R.若ƒ在I(x0,δ)为零,则limS(f)(x)=0n0n→∞•证明:令f(x−t)0δ≤

6、t

7、≤πtg(t)=2πsin20

8、t

9、≤δ12局部化原理证明(续)易见g∈L2π,由Riemann-Lebesgue引理1π1Sn(f)(x0)=∫−g(t)sinn+tdt→0(n→∞)ππ213点收敛的Dini判别法•设ƒ∈L2π,α∈R.若作为t的函数f(x+t)+f(x−t)−2α00∈L(0,π)tlimS(f)

10、(x)=α则n0n→∞证明:由下式和Riemann-Lebesgue引理πf(x0+t)+f(x0−t)−2α1Sn(f)(x0)−α=∫sinn+tdt0t22sin214Dini判别法常用的一个推论•设ƒ∈L2π,分段光滑(即ƒ在[−π,π]上除去有限多个点外处处有连续导数并且在导数不存在的点左右极限都存在且有限),则其Fourier级数点点收敛,也就是∞+−a(f)f(x)+f(x)0()+∑an(f)cosnx+bn(f)sinnx=2n=1215Fourier级数例1•考虑函数:ƒ(x)=(π-x)/2,x∈(0,2π).有1a(f)=0n=0,1,,b(

11、f)=,n=1,nnn有前面的推论∞π−xsinnx∀x∈(0,2π),=∑2n=1n16Fourier级数例1(续)•下面是ƒ和S5(ƒ)的图像17Fourier级数例2•考虑函数:ƒ(x)=cos(θx),x∈[-π,π],(偶函数)2sinθπb(f)=0n=1,,a(f)=,n0θπ2π∀n>0,a(f)=cosθxcosnxdxn∫π01π=∫(cos(θ+n)x+cos(θ−n)x)dxπ01sin(θ+n)πsin(θ−n)π=+πθ+nθ−n18F