数学分析级数课件.ppt

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1、§2正项级数三、积分判别法返回收敛性是级数研究中最基本的问题,本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.一、正项级数收敛性的一般判别原则二、比式判别法和根式判别法*四、拉贝判别法一、正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以-1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性.定理12.5收敛的充要条件是:部分和有界,即存在某正数M,对一切正整数n有证所以{Sn}是递增数列.而单调数列收敛的充要条件

2、是该数列有界(单调有界定理).这就证明了定理的结论.仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收敛性判别法则.定理12.6(比较原则)级数,如果存在某正数N,对一切n>N都有则证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.由(1)式可得,对一切正整数n,都有则由(2)式对一切n有,即正项级数的部分和数列有界,由定理12.5级数收敛,这就证明了(i).(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.例1解因为正项级数收敛(§1例5的注),

3、故由比较原则和定理12.3,级数也收敛.例2若级数证因为,而级数收敛，根据比较原则,得到级数收敛.在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.推论(比较原则的极限形式)设是两个正项级数,若则证(i)由(3)存在某正数N,当n>N时,恒有或由比较原则及(4)式得,时,级数与同时收敛或同时发散.这就证得了(i).(ii)当l=0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若级数收敛,则级数也收敛.则对于正数1,存在相应的正数N,当n>N时,都有于是由比较原则知道,若级数发散,则级数也发散.例3级数是收敛的,因为以及等比级数收敛

4、,根据比较原则的极限形例4正项级数是发散的,因为根据比较原则的极限形式以及调和级数发散,得到级数也发散.*例5判断正项级数的敛散性.解因为故可将与进行比较.由于注意到所以根据比较原则,原级数收敛.二、比式判别法和根式判别法本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,但在使用时只要根据级数一般项本身的特征就能作出判断.定理12.7(达朗贝尔判别法,或比式判别法)设为正项级数,且存在某正整数则级数收敛.证把前n-1个不等式按项相乘后,得到由于当0

5、式)若为正项级数，且则证由(7)式,对任意取定的正数存在正数N,当n>N时,有由上述不等式的左半部分及比式判别法的(i),得正项级数是收敛的.根据上述不等式的左半部分及比式判别法的(ii),可得级数是发散的.例6级数由于根据推论1，级数收敛.例7讨论级数的敛散性.解因为根据推论1,当01时级数发散;而当x=1时,所考察的级数是,它显然也是发散的.性作出判断.例如级数它们的比式极(§1例5),却是发散的(§1例3).若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.若(7)中q=

6、1,这时用比式判别法不能对级数的敛散*推论2设为正项级数.*例8研究级数的敛散性,其中01时,级数(8)发散;但当b<1N,有于是由根式判别法就得到推论所要证

7、明的结论.推论1(根式判别法的极限形式)设为正项级数,且例9研究级数的敛散性.解由于所以级数是收敛的.若在(11)式中l=1,则根式判别法仍无法对级数的敛散性做出判断.例如都有发散的.若(11)式的极限不存在,则可根据根式的上极限来判断.*推论2设为正项级数,且则当(i)l<1时级数收敛;(ii)l>1时级数发散.*例10考察级数的敛散性，其中解由于故因此级数是收敛的.如果应用比式判别法,由于我们就无法判断其收敛性.根据第二章总练习题4(7),当时,必有这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数,也能由根式判别法来判别,

8、亦即根式判别法较之比式判别法更为有效.例如级数由于故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.但应用根式判别法却能判定此级数是收敛的(例9).那么,是否就不需要比式判别法了？请看下面例子.例11判别下列级数的敛散性：解(i)因为由比式判别法，原级数为收敛.(ii)因为由根式判别法,原级数为收敛.注由于极限很难求,所以上例中的(i)不采用根式法.三、积分