【数学分析课件@北师大】17场论.pdf

《【数学分析课件@北师大】17场论.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、曲线和曲面上的积分场论1基本概念•梯度场:设ƒ是Ω⊂Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),ƒ′自然给出了Ω上的一个向量场,也记为∇ƒ,它称为ƒ的梯度场,简称梯度场;•散度场:设F是Ω⊂Rn上的光滑向量场.Ω上的数量场n∂FidivF=∑i=1∂xi称作F的散度(场),也记作divF=∇·F2基本概念(续)•旋度场:设F=(P,Q,R)是Ω⊂R3上的一个光滑向量场.向量场∂R∂Q∂P∂R∂Q∂ProtF=−,−,−∂y∂z∂z∂x∂x∂y称作F的旋度(向量场),也记成rotF=∇×F•记号∇(读作nabla)也称作梯度算子,把它理解为∂∂∇=,

2、,∂x∂x1n3梯度场的意义•设ƒ是Ω⊂Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),∇ƒ是其梯度场.∇ƒ也记作gradƒ.•∇ƒ的基本意义是给出了ƒ在Ω的各点最大的方向导数的值及其方向;•∇ƒ给出了ƒ的等高面ƒ(x)=c上的法向量场;•∇ƒ(x0)(x-x0)=0是等高面ƒ(x)=ƒ(x0)在x0点的切平面;•∇ƒ是描述数量场ƒ扩散的基本数学量.4散度场的意义•设F是Ω⊂Rn上的一个光滑向量场,divF=∇·F叫做F的散度场.•divF(x0)表示向量场F在x0点的发散程度:设V是包含x0点(x0点为内点)的区域F在V上的平均发散程度定义为1∫F⋅Ndσ

3、V

4、∂

5、V当

6、V

7、趋于零时,由Gauss公式就得到上面的解释.divF(x0)>(<)0表示x0是F的源(或漏)点.5梯度场的散度场•设ƒ是Ω⊂Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),其梯度场∇ƒ的散度场div∇ƒ=∆ƒ在讨论温度场和密度场等数量场时是基本的.•∆=∇·∇叫Laplace算子•如果divF=0,就称F为无源场,例如三维空间中,向量场的旋度场就是无源场.6旋度场的意义•设F=(P,Q,R)是Ω⊂R3上的一个光滑向量场.rotF=curlF=∇×F叫F的旋度.•curlF(x0)表示向量场F在x0点的环流(涡旋)程度(是一个向量).它的解释要复杂一些:取定义个方向

8、n(单位向量),S是过x0点与n垂直的平面区域C是其边界曲线,取其方向与n的方向成右手螺旋,定义F在S上在n方向上的平均环流为1∫F⋅dr

9、S

10、C7旋度场的意义(续)•当

11、S

12、趋于零时,其极限定义为定义F在x0点在n方向的环流curl(F,n)(x0),由Stokes公式,curl(F,n)(x0)=curl(F)(x0)·n•如果一个F的旋度为零,F称为无旋场.例如梯度场就是无旋场.8雁过无痕整理发布如需要PPT格式文档，请给评价后发邮件至ygwh2010@163.com注明所需文件的网页链接感谢您一如既往的支持！