【数学分析课件@北师大】13曲面上测度.pdf

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1、曲线和曲面上的积分曲面积分1.曲面上的测度1曲面积分•曲面表示和曲面上的测度•第一型曲面积分(质量)•第二型曲面积分(流量)2曲面的映射观点定义•设[a,b]⊂Rk,ƒ:[a,b]→Rn(n≥k+1)•若ƒ连续,称S=ƒ([a,b])为Rn中的连续超曲面•若ƒ具有一阶连续导数,且∀t∈[a,b],ƒ′(t)满秩,称S=ƒ([a,b])为Rn中的k维光滑超曲面;若ƒ是单射,S=ƒ([a,b])为Rn中的k维正则超曲面•若ƒ连续,且存在[a,b]可以分成m个内部不相交的闭区域Ωj,Lj=ƒ(Ωj)是k维光滑(正则)超曲面,称S=ƒ([a,b])为Rn中的k维分片光滑(正则)超曲面3曲面的

2、集合观点定义•设S⊂Rn,若存在ƒ:[a,b]⊂Rk→Rn,有S=ƒ([a,b])•若ƒ连续,就称S为Rn中的一个连续超曲面,称ƒ为S的一个表示•若ƒ光滑且导数点点不为零,就称S为Rn中的k维光滑超曲面,称ƒ为S的光滑表示•若ƒ光滑,单射且导数点点不为零,就称S为Rn中的一条正则曲面,称ƒ为S的正则表示4同一超曲面可以有不同的表示•同一超曲面可以有不同表示：–集合观点下的正则超曲面一定有非正则的表示;–几何上正则的超曲面未必有正则表示;–几何上非正则的超曲面一定没有正则表示•在下面的讨论中,我们总假设–ƒ连续,–S是正则或分片正则超曲面,ƒ是其相应的表示–因此将对超曲面的两种观点统一

3、5超曲面的分类•设ƒ:[a,b]→Rn(n≥2),连续•若ƒ是单射,称L=ƒ([a,b])为Rn中的简单曲面•Rn中的闭超曲面：？？•Rn中的简单闭超曲面：不带边的紧流形6超曲面的方向(定向)•可定向曲面(双侧曲面)•不可定向曲面(单侧曲面)7正则超曲面面积的定义•设[a,b]⊂Rkn,ƒ:[a,b]→R(n≥k+1),正则,S=ƒ([a,b]),定义S的k维面积为∫(()T)S=detf′(t)f′(t)dt[a,b]其中上标T表示矩阵的转置8对超曲面面积公式的说明•面积公式的推导–Rn中k维平行2k面体的体积计算–用切超平面块近似超曲面面积•n-1维超曲面的面积公式–由参数方程给

4、出的曲面体积公式–由函数图像给出的曲面体积公式9Rn中k维平行2k面体的体积•设E是由Rn中k个线性无关向量V1,V2,…,Vk所张成的平行2k面体,由Schmidt正交化方法得到与其等体积的直角平行2k面体E0,张成E0的k个向量是α1,α2,...,αk两组向量间的关系1*(α1,,αk)=(V1,,Vk)0110平行2k面体的体积(续1)•体积公式:

5、E

6、=

7、E0

8、=

9、α1

10、•

11、α2

12、•…•

13、αk

14、也就是22222E=E=ααα012k•也就是Tα1T22α2()E=E0=detα1α2αkαT

15、k11平行2k面体的体积(续2)•由此就得到2(T)E=detVV其中V=(VVV)12k注意Vj都是列向量.12平行2k面体体积公式解释•Binet-Cauchy公式:设A=(aij)n×k,B=(bij)n×k,则aaabbbi11i12i1ki11i12i1kaaabbb(T)i21i22i2ki21i22i2kdetAB=∑⋅1≤i1<

16、b]⊂Rk,ƒ:[a,b]→Rn(n≥k+1),正则,S=ƒ([a,b]).下面按微元法给出超曲面的面积公式:任取[a,b]的一个分法Ω:Ω1,…,Ωm.Sj=ƒ(Ωj),j=1,…,m.取tj∈Ωj,用(()T)detf′(t)f′(tj)⋅Ωjj近似Sj的体积,然后求和-取极限就得到公式.14n-1维超曲面的面积公式(1)•由参数方程给出的曲面体积公式:•设[a,b]⊂Rn-1,ƒ:[a,b]→Rn(n≥k+1),正则,S=ƒ([a,b]).此时,习惯上有下面的记法Tdet((f′(t))f′(t))=det(ef′(t))其中e表示第i个元素标准基向量ei的列向量15n-1维超

17、曲面的面积公式(2)•由函数图像给出的曲面体积公式:•函数图像公式[a,b]⊂Rn-1,g:[a,b]→R,ƒ(t)=(t,g(t)),S=ƒ([a,b])T2det((f′(t))f′(t))=1+g′(t)16正则超曲面上的测度•设[a,b]⊂Rk,ƒ:[a,b]→Rn(n≥k+1),正则,S=ƒ([a,b]).E⊂S,如果ƒ-1(E)是[a,b]的可测集,就说E是S的可测集,其测度定义为TE=∫det((f′(t))f′(t))dt−1f(E)17雁