【数学分析课件@北师大】14曲面积分.pdf

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1、曲线和曲面上的积分曲面积分2.曲面积分1第一型曲面积分定义•设[a,b]⊂Rk,ƒ:[a,b]→Rn(n≥k+1),正则,S=ƒ([a,b]),h:S→R,如果h°ƒ∈L([a,b]),就说h∈L(S),并且定义∫∫(()T)h=g(f(t))detf′(t)f′(t)dtS[a,b]称其为h在S上的第一型曲面积分•面积元(()T)dσ=detf′(t)f′(t)dt2第一型曲面积分与质量•设S是一个物质面,假设它的厚度与其广度相比小得可以不计,也就是把它看成是一个正则曲面,假设它的密度函数ρ(x)是S上的连续函数,那么这块物质

2、面的总质量M是ρ(x)在S上的第一型曲面积分(*)M=∫ρ(x)dσS3用微元法推导公式(*)•微元法：分块-近似-求和-取极限–分块:将曲面S分成m块S1,…,Sm,记∆Sk为Sk的体积(k=1,…,m)–近似:取xk∈Sk,用ρ(xk)∆Sk近似Sk上的质量(在使用中也简写成ρ(xk)dσ)–求和:把各段的近似加起来Σρ(xk)∆Sk–取极限:令最大块的直径趋于零,其极限定义为总质量4第一型曲面积分例1•设S为R3中的抛物面型物体,1(22)22x,y,x+y:x+y≤22其密度函数为ρ(x,y,z)

3、=z,计算其质量解:S的面积元为dσ=1+x2+y2dxdy1(22)22M=∫zdσ=∫x+y1+x+ydxdyS222x+y≤25第一型曲面积分例1(续)•利用极坐标变换22π132M=∫zdσ=∫∫r1+rdθdrS0022π()=1+63156n-1维球面的面积n−1•Rn中的半径为r的球面S的参数表示rx1=rsinθ1sinθn−2cosθn−1x=rsinθsinθsinθ21n−2n−1x3=rsinθ1cosθn−2x=rsinθcosθn−112x=rcosθn1其中(θ1

4、,θ2,…θn-1)∈[0,π)×…×[0,π)×[0,2π)7n-1维球面的面积(续1)•其面积元为n−2n−1()n−k−1dσ=r∏sinθkdθ1dθn−1k=1•因此n−1的面积为Srn2π2n−1∫dσ=rn−1nS1Γ28微元法推导曲面质心•设S是一个物质曲面,其密度函数ρ(x).计算其质心P.•解:与曲线棒的情形类似–分块-近似:xkρ(xk)dσ,ρ(xk)dσ–近似质心:Σxkρ(xk)dσ/Σρ(xk)dσ–取极限得到质心公式:P=∫xρ(x)dσ∫ρ(x)dσSS9第二型曲面积分•第二型线积

5、分的定义•第二型线积分与流量(通量)10几点说明•第二型曲面积分是在可定向,也就是双侧曲面上定义的•要定义一般超曲面上的第二型曲面积分,需要引入其他工具(张量和微分形式),这里仅讨论n-1维双侧曲面上第二型曲面积分,此时只需要用到向量的概念•一个n-1维正则曲面是双侧的充分必要条件是在其上面存在一个连续的单位法向量场113R中的单侧曲面例子:Möbius带•下面是Möbius带的一个例子v2+usincosv2xvy=f(u,v)=2+usinsinv2zv

6、ucos2(u,v)∈[−1,1]×[0,2π]12Möbius带(续1)13Möbius带(续2)•计算偏导数v1vvsincosvucoscosv−2+usinsinv2222v1vvf′(u,v)=sinsinvucossinv+2+usincosv2222v1vcos−usin22214Möbius带(续3)•法向量vv−cosusinvcos+2cosv22u(2)vN(u,v)=cosv−sinv−2cossinv

7、22v2v2sin+usin2215Möbius带(续4)•考察在ƒ(0,v)上的方向量场N(0,v)v−2cosvcos2cosv2vf(0,v)=2sinv,N(0,v)=−2cossinv20v2sin2当v变到v+2π时,曲面上的点回到原处,二法向量方向翻转,这表明Möbius带是单侧曲面.16第二型曲面积分的定义•设S⊂Rn(n>1)为n-1维双侧正则曲面,ƒ:[a,b]→Rn是其一个正则表示,N为S上的连续单位法向量场.F为S上的一个向量场.如果F•

8、Ν∈L(S),就将其积分定义为向量场F关于S的N侧的第二型曲面积分,记为∫F⋅Ndσ=∫F(f(t))⋅N(f(t))dσS[a,b]•第二型曲面积分可以自然地推广到分片光滑曲面•称ω=F•Νdσ=F1dx2∧…∧dxn+…+Fndx1∧…∧dxn-1为(n-1