【数学分析课件@北师大】04多重积分的变量替换.pdf

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1、积分学多重积分的变量替换1讨论的缘由•单积分或一重积分的变量替换(也叫换元)的根据是微积分基本定理,其在计算和证明中的作用是巨大的.在证明了Fubini定理之后,它在重积分的讨论中也获得应用.但这还是不够的！•多重积分的一般变量替换是一个十分重要、有趣题目2基本思路•什么样的Rn到自身的变换是保集合的可测性的?基本例子:正则变换•正则变换如何改变可测集的测度?线性变换：讨论特征函数正则变换：讨论特征函数•非负可测函数和有积分函数的积分变换公式3复习Rn上正则变换•定义:设Ω⊂Rn是非空开集,T:Ω→Rn满足下列条件:T在Ω上是单射；T在Ω上有一阶连续导数(即是C1的);DT=T′在Ω

2、上处处可逆(即J(T)=det(T′)恒不为零)则称T为Ω上的正则变换.•结论:T(Ω)开集、T-1:T(Ω)→Ω也是正则变换、且−1′−1∀x∈Ω,(T)(T(x))=(T′(x))4记号复习：导数矩阵•导数矩阵(也叫Jacobi矩阵):∂T1∂T1∂T1(x)(x)(x)∂x∂x∂x12n∂T∂T∂T222(x)(x)(x)DT(x)=T′(x)=∂x∂x∂x12n∂T∂T∂Tn(x)n(x)n(x)∂x∂x∂x12n5记号复习：差分的表示•设x∈Ω,B(x,r)⊂Ω(r>0),y∈B(x,r).T:Ω→Rn在x点可微,则T(y)−T(

3、x)=T′(x)(y−x)+o(y−x)(y→x)•其中T(y),T(x),y和x都是n维列向量,

4、y-x

5、是n维欧氏范数(也叫长度或距离)n∑()2y−x=y−xiii=16记号复习：差分矩阵表示•上页的式子的矩阵形式：T(y)−T(x)∂T∂T1111y1−x1∂x1∂xn=+o(y−x)(y→x)∂Tn∂TnT(y)−T(x)∂x∂xy−xnn1nnn7记号复习：线性变换•设L:Rn→Rn为线性变换,在取定基(通常取标准基)后,L可等同为一个n阶方阵(也记为L).•线性变换是可微变

6、换;如果还是非奇异(也叫非退化的),就是正则变换•L(x)=Lx;L′(x)=L;J(L)=det(L)•线性变换的范数:

7、

8、L

9、

10、=max{

11、Lx

12、:

13、x

14、=1}•导数的范数:

15、

16、T′

17、

18、=sup{

19、

20、T′(x)

21、

22、:x∈E}E8正则变换是可测变换•可测变换:把可测集映射成可测集的变换叫做可测变换•正则变换是可测变换:由正则变换把开集映射成开集,再由正则变换是单射,因此在正则变换下,交的像等于像的交.由任一个可测集包含在可数多个开集的交中,并且两者的差的测度为零.因此只要能证明零测集的像还是零测集就行了•步骤:(1)在一个闭方块中的零测集的像是零测集;(2)一般的零测集的像是零测集9闭方块中

23、零测集的像•设Ω⊂Rn中的开集,T为Ω上的C1变换.闭方块Q⊂Ω,E⊂Q为零测集,即

24、E

25、=0,则

26、T(E)

27、=0.•证明:只要证明∀ε>0,

28、T(E)

29、<ε就行了.记λ=

30、

31、T′

32、

33、,Q由微分中值不等式∀x,y∈Q,T(x)−T(y)≤λx-y任取ε>0,由

34、E

35、=0,∞存在可数多开方块∞εC,kk=1,2,…E⊂Ck,∑Ck<()nk=1k=1λn+110闭方块中零测集的像(续)(k)不妨设Ck⊂Q,否则用CK∩Q替代CK.取a∈Ck为Ck的中心,记Ck的边长为lk,我们有()((k))(k)λnlk∀x∈C,Tx−Ta≤λx−a

36、((k)))()n()QTa=λnl=λnCkλnk所以∞∞nT(E)≤∑T(C)≤(λn)∑C<εkkk=1k=111零测集的像是零测集•设Ω⊂Rn中的开集,T为Ω上的C1变换.E⊂Ω为零测集,即

37、E

38、=0,则

39、T(E)

40、=0.•证明:Ω可以表示成可数多个闭方块的并以及上面的结论，就可以得到所要的结论.#12可测集的像是可测集•设Ω⊂Rn中的开集,T为Ω上的正则变换.E⊂Ω,为可测集,则T(E)也是可测集.•证明:由E可测,则存在可数多个开集Gk和零∞测集Z,有E=GkZk=1∞注意T(Gk)是开集且T(E)=T(Gk)T(Z)k=1就得到结论.#13

41、问题二•如果仅要求T是C1的,T还能把可测集映成可测集吗？•其他类型的可测变换.14正则变换如何改变测度•基本结果：–测度T(E)=∫J(T)E∫f=∫fTJ(T)–积分T(E)E•如何证明：–线性变换:此时J(T)是常数–正则变换15线性变换测度公式•设L是Rn上的线性变换,E⊂Rn可测.则L(E)可测且

42、L(E)

43、=

44、det(L)

45、

46、E

47、.•证明步骤：只需要讨论L为可逆的情形–对方块结论成立