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时间：2020-06-08
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1、二、二重积分的一般换元法一、利用极坐标计算二重积分§21.4二重积分的变量替换一、利用极坐标计算二重积分极坐标变换考虑有界可求面积区域D上的连续函数f在D的二重积分，则对D的任一分割T，我们希望可以表示一、利用极坐标计算二重积分极坐标系下的二重积分如果积分区域可表示为D’:j1(q)rj2(q),aqb,则极坐标系下的二重积分如果积分区域可表示为D’:q1(r)qq2(r),arb,则讨论区域如下图,如何确定积分限?(1)(2)(1)(2)下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)思考:解例
2、2计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注:利用此例可得到反常积分公式事实上,D1DD2解例4.求球体被柱面所截得的立体（Viviani体）的体积.解:由对称性可知,体积等于第一挂限的4倍V=4xyD(D如图)定积分换元法二、二重积分换元法满足偏导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,面积元素的关系为二重积分的换元公式:注记：1、如仅在D’的个别点或者一条直线上为0,则换元公式成立。2、此公式对应定积分:3、注意该公式中Jacobian有绝对值，这是因为二重积分化为累次积分后下限总是
3、小于上限。面积元素的关系为二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,例5.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则例6.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令则练习题练习题答案
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