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1、兰亭序之高数版定理21.11若函数在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.复习注意定理使用的条件.有向性；连续性；封闭性.利用格林公式计算L闭合L非闭3.平面上曲线积分与路径无关的条件yxo（一）曲线积分与路径无关的定义即只与起点和终点有关.则称曲线积分与路径无关.否则与路径有关.G显然任意的闭曲线如果在区域G内对任意的有在G内定理21.12设D是单连通闭区域.若函数在D内连续,且具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分与路线无关,只与L的
2、起点及终点有关;(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有(iv)在D内处处成立证(i)(ii)如图21-19,设与为联结点A,B的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得所以(iii)(iv)设存在函数使得因此于是由一点处都有以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每解：例5.计算为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线其中L因为则在平面上成立.选择如图所示的路径选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行的新路径.（1）新路径的起点与终点不变,（2）解：例6.选择如图所示的路径设曲线积分与路径无关，具有连续的导数，由已知知即由知C=0,则故原式=多元函数的原函数：由此,可以求某
3、个全微分的原函数，并且原函数不唯一例7试应用曲线积分求的原函数.解这里在整个平面上成立由定理21.12,曲线积分只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.为此,取取路线为图21-22中的折线段于是有作业：P232:5(2);6(1);P2783例如：积不出来,计算其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.先x后y同样积不出来.§4二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式三、二重积分的广义极坐标变换二、二重积分的极坐标变换一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中,我们得到了如下结论:设在区间上连续,当从变到时严格单调地从a变到b,且连续可导,则当(即)时,记则利用这
4、些记号,公式(1)又可写成当(即)时,(1)式可写成故当为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可统一写成如下的形式:引理设变换将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域,一对一地映成xy平面上的闭区域D.函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式则区域D的面积(5)定理21.13设在有界闭区域D上可积,变换将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy平面上的闭区域D,函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式则有例1求其中D是由解为了简化被积函数,令所围的区域(图21-23).即作变换它的函数行列式为在T的作用下,区域D的如图21-24所示.原象所以例
5、如：积不出来,计算其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.先x后y同样积不出来.二、二重积分的极坐标变换当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数的形式为时,采用极坐标变换(8)往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时,变换T的函数行列式为容易知道,极坐标变换T把平面上的矩形此对应不是一对一的,变换成xy平面上的圆域但定理21.14设满足定理21.13的条件,且在极坐标变换(8)下,平面上的有界闭域D与平面上区域对应,则成立记忆方法：2.二重积分化为二次积分的公式（１）(1)区域特征如图(极点在区域D的外部)特殊地,区域特征如图(极点在区域D的外部)2.二重积分化
6、为二次积分的公式（２）(2)区域特征如图(极点在区域D的边界上)2.二重积分化为二次积分的公式（３）(3)区域特征如图(极点在区域D的内部)极坐标系下区域的面积说明：1.应掌握把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分.2.极坐标系下的二重积分为二次积分.定限方法----射线穿越法：3.何时用极坐标？例2.计算其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解：在极坐标系下，例3计算其中D为圆域:解由于原点为D的内点,故由(12)式,有例4计算其中D为圆域:解利用极坐标变换,由公式(12),容易求得例5.将表示为极坐标下的累次积分解:在极坐标系下,Ｄ可表示为：于是原式例6
7、.设f(x)连续,则等于2006Ｄ可表示为：解:例8.计算二重积分其中积分区域为11解:如图，记于是思考解一:利用极坐标计算思考解二:利用对称性三、二重积分的广义极坐标变换当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时,可考虑用如下的广义极坐标变换:并计算得例9求椭球体的体积.解由对称性,椭球体的体积V是第一卦限部分体积的8倍,而这部分是以为曲顶,为底的曲顶柱体,所以应用广义极坐标变换,因此特别当时,得到球的体积为令则D的原象为内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形
