变量代换应用

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1、1变量代换的类型变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式,从而使原有的问题转化为较简单的,易解决的问题的方法,这种方法也称为换元法.在学习数学的过程中,变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法.恰当地运用变量代换的观点方法,常常能起到化难为易、化繁为简的作用．变量代换有多种类型,它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用.我们只有掌握了变量代换的不同类型,才能在解决问题时更加得心应手.本节先给出积分运算中几种常见的变量代换,然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换.1.1算式代换算式代换是指积分表达式中含有的代换.例1求定积分.解令,则.当时,;当时,

2、.所以有.1.2根式代换根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换.例2求定积分.解令,则当时,;当时,.则.1.3倒代换倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换.例3求不定积分.解令,则.1.4三角代换三角代换是指积分表达式中含有,等形式的代换.例4求.解令,则当时,;当时,.所以.1.5指数代换指数代换是指积分表达式中含有的代换.例5求不定积分.解令,则有.1.6公式变形中的变量代换在解题时,我们常对一些形式的式子感到很难理解,但只要仔细分析,我们会发现它可能就是一些公式的变形形式.因此,我们在认识公式时,可适当利用变量代换法来认识其变形形式．例如设,则,于是有．

3、同样,利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.又例如.设,当时,,于是有,即.如果设,则.同理,则,即.通过对公式进行变量代换,我们不仅可以加深对公式的理解,还可以看到一些我们解题时有用的式子．例如.1.7函数解析式中的变量代换例6已知,求.解由于题中函数表达式不是我们习惯的形式,可先把函数表达式化为我们习惯的形式,根据题意,不妨设,则.从而有.例7已知,求表达式.解令,则有.因此有,得的表达式.2变量代换在数学中的应用2.1变量代换在条件极值中的应用条件极值是高等数学中的一项重要内容,而变量代换法是求极值和最值的方法之一,他可以是问题简化.下面我们来对变量代换在极值和最值方面

4、的应用加以探讨.设定为实函数,,且,.［文献3］引论1对于设定,若函数组均在S上连续,则由函数组确定的SD的映射F在S上也连续．引论2设,是度量空间,映射,那么在上连续的充要条件是像空间中的任一开集的原像是X中的开集．引论3设X是度量空间,,B为开集,则A为X的开集的充要条件是A是相对于B的开集．结论1设S,D均为开集,函数组在S上均连续,,若是的极大(小)值点,则为的极大(小)值点．证设由函数组确定的SD的映射为F,因为均在S上连续,所以F也在S上连续(引论1)．因为为D中极大值点,所以总存在点的某一邻域,使时,．因为D为开集,所以是相对于D的开集(引论3),又因为F连续,所以是相对

5、于S的开集(引论2),而S为开集,所以也为的开集(引论3)．又因为,则为点的一个邻域．对于,则有,所以有.同理可证极小值的情况.结论2在结论1中,若由函数组确定的SD的映射F为一一对应,且F的逆映射连续(即F是SD的同胚映射),则是的极大(小)值点的充要条件是为的极大(小)值点.证必要性可由结论1得证,充分性仅对极大值点的情形予以证明.设是的极大值点,则存在的一个邻域,使,.由F是SD的同胚映射及引论3可知,的一个邻域．设,存在,使得,对给定的,是唯一存在的,则当时,,因此有.在结论2中,把“极大(小)值点”都改为“严格极大(小)值点”,结论仍成立．结论3设,则是的最大(小)值点的充要

6、条件是是的最大(小)值点.(证明略)结论4设,则为在约束条件下的最大(小)值点的充要条件是为在约束条件下的最大(小)值点.(证明略)例1讨论函数在D上的极值与最值,约束条件为.解设．由(2-1),(2-2)确定的映射F：SD是同胚映射,所以原问题可化为函数在S上满足约束条件下的极值与最值问题,即化为函数在区间内的无条件极值与最值问题.设,令.(2-3)显然由(2-3)确定的映射是同胚映射．这时在内有唯一驻点,且是极小值点,从而也是最小值点．又因为驻点唯一,所以函数没有极大值与最大值．当t=1时,得；再由及0

7、极大值与最大值．例2设为圆上的任意一点,求函数的极大值.这是一个在约束条件下求的极值问题,数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决.解由是上的点,得.将中的以替代得到.因此可以看做圆上任一点与连线的斜率,本题的条件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题.显然这连线斜率应为从点到圆所做切线的斜率.不难看出,该切线的方程为:,斜率K=,因此的极大值为.例3设,求的最值.解设,则,所以.因此当时,取最小值;当时,的最大值.即满足的