中学数学中的变量代换

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1、中学数学中的变量代换中学数学中的变量代换在学习数学的过程中，我们常常觉得一些公式的变形、等式的变化很难理解，在解题时往往感到很难下手，于是对数学产生畏惧、厌倦情绪，然而变量代换是众多数学方法中易于掌握且行之有效的方法.　　所谓变量代换是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量（或变量表达式）来代换，这种方法也称为换元法.　　一、变量代换的几种常用方法　　用变量代换法分析和解决问题可以化难为易，把抽象问题变具体，使解题者对数学更加有兴趣，从而提高学习积极性.在中学中，变量代换应用广泛，总结概括为以下几点：　　（一）初等变换法　　有关函数知识及问题常常要用

2、变量代换思想去分析和理解.初学函数概念与符号f（x）时，很多学生对其表达意义不能正确领会和应用.例如，f（x）=x2，则f（x+）=（x+）2，在课堂不注重方式的令x=x+，学生很难理解，因为x≠x+，事实上把f（t）=t2中的变量t用x+代入得到结论就比较容易让学生理解了.　　例1.定义在R上的函数y=f（x），当x>0时，f（x）>1且对任意a、b∈R有f（a+b）=f（a）f（b），又f（0）≠0.　　（1）求证：f（0）=1；　　（2）求证：对x∈R，有f（x）>0；　　（3）求证：f（x）是

3、R上增函数.　　分析：解决本题关键在于把条件中的a，b，x进行多次变量代换，　　还有利用等量代换，如f（0）=1.　　证：（1）由f（a+b）=f（a）f（b），得f（0+0）=f（0）f（0）.因为f（0）≠0，所以f（0）=1.　　（2）当x≥0时，f（x）≥1>0；当x<0时，因为-x>0，所以f（-x）>0.　　由f[x+（-x）]=f（x）f（-x），知　　f（x）==>0.　　综上知：x∈R，有f（x）>0.　　（3）设x1<x2，则x2-x1>0.因f（x2）=

4、f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）；　　又当x2-x1>0时，f（x2-x1）>1，且f（x1）>0，所以　　f（x2）=f（x2-x1）f（x1）>f（x1），　　因此f（x）是R上增函数.　　（二）递推数列下标代换法　　例2.在数列an中，a1=3，nan+1=（n+2）an+2n（n+1）（n+2），求通项公式an.　　分析：解题过程中主要是把变换为bn，这样过程可以简化些，最后再用an回代.　　解：对原递推式两边同除本文由论文联盟.L.收集整理以n（n+1）（n+2）可得：　　=+2①　　令　　bn=②

5、　　则①为bn+1=bn+2，即数列bn是首项为b1==，公差是bn+1-bn=2的等差数列，因而　　bn=+2（n-1）=2n-，　　代入②式中得　　an=n（n+1）（4n-1）.　　故所求的通项公式是　　an=n（n+1）（4n-1）.　　（三）方程代换法　　例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.　　分析：题中的a，b之和与a，b之积是联想韦达定理的信号，因此考虑构造方程进行代换.　　解：设ab=p，则a+b=p-3，故a，b是方程x2-（p-3）的两个正根，则有　　？驻=（p-3）2-4p≥0，p>0，p-3&

6、gt;0，　　解得p≥9，即a，b的取值范围为[9，+∞）.　　（四）整体代换　　例4.设x，y，z>0，x+y+z=1，求++的最小值.　　分析：注意到x+y+z=1，其他的代数式与之相乘后不会改变其原来的性质.就该题而言，相乘后可得到能利用均值不等式的模式.　　证：++=（x+y+z）（++）=14+++++≥2（++）=14+2（2+6+3）=36.　　当x=，y=，z=时等号成立.　　（五）不等式中的变量代换　　在代数式的恒等变形和解方程时，我们使用过变量代换.而在不等式的证明中若能引进适当的代换，不仅能使证明简

7、化，而且比较容易找到证题思路.下面用两道例题进行描述，权作引玉之砖.　　例5.已知a>0，b>0，c>0，求证：++≥.　　分析：直接证明似乎不太容易，若注意到不等式的对称性，把b+c，a+c，a+b看作三个新的变量进行代换，就会使形式变得简单，容易证明.　　证：令x=b+c，y=c+a，z=a+b，则　　a=（-x+y+z），b=（x-y+z），c=（x+y-z），　　于是　　++=++　　=-+（+）+（+）+（+）　　≥-+3=.　　当且仅当x=y=z，即a=b=c时取=号.　　二、变量代换的作用　　变量代换在数学

8、解题中有着广泛的运用，被称为是解决数学问题的有力杠杆.下面通过举例说明几种常见的用处.　　（一）用代换变未知