含绝对值积分计算中的变量代换

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1、第１６卷第２期高等数学研究Ｖｏｌ．１６，Ｎｏ．２２０１３年３月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＭａｒ．，２０１３含绝对值积分计算中的变量代换施敏加（安徽大学数学科学学院，安徽合肥２３０６０１）摘要通过实例分析，探讨如何利用变量代换思想解一些和绝对值有关的积分问题，以求开阔学生在面临此类问题时的解题思路．关键词绝对值；曲线积分；Ｇｒｅｅｎ公式；Ｇａｕｓｓ公式中图分类号Ｏ１７２．２文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１３）０２－００３２－０３变量代换法是数学变换方法的一

2、种，其主要目则有的就是通过代换能使问题化繁为简，化难为易，将不ｕ＋ｖｕ－ｖｘ＝，ｙ＝，能解决的问题转化为能解决的问题．变量代换法在２２此时区域变为求极限，求导，求积分，解微分方程，级数中的应用非常广泛［１－２］Ｄｕｖ＝｛（ｕ，ｖ）：－１≤ｕ≤１，－１≤ｖ≤１｝，．在高等数学中的各章节中几乎都用到且因了变量代换法，而且在各章节中的应用方法也不尽相同．下面就变量代换在含有绝对值的积分证明和（ｘ，ｙ）＝１，（ｕ，ｖ）２计算中的应用做一介绍．于是１积分区域中含有绝对值的积分问题１ｆ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ

3、＝ｆ（ｕ）ｄｕｄｖ＝ＤｘｙＤｕｖ２在有关重积分的证明和计算中，如果积分区域１１１１ｄｖｆ（ｕ）ｄｕ＝ｆ（ｕ）ｄｕ．中含有绝对值，直接去证明或者计算可能会感到无２∫－１∫－１∫－１［１］２０２法下手．在教学过程中，发现学生碰到类似问题时，例２计算往往不能成功解决，若我们采用变量替换的思想就Ｉ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｄｙｄｚ＋［２ｙ＋Ｓ会使问题变得简单．ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，［１］１２１ｓｉｎ（ｚ＋ｘ）］ｄｚｄｘ＋（３ｚ＋ｅ例１证明等式其中Ｓ是曲面１ｆ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝ｆ（ｕ）ｄｕ，｜ｘ－ｙ＋ｚ｜＋｜ｙ

4、－ｚ＋ｘ｜＋Ｄｘｙ∫－１其中闭区域｜ｚ－ｘ＋ｙ｜＝１Ｄｘｙ＝｛（ｘ，ｙ）：｜ｘ｜＋｜ｙ｜≤１｝．的外侧．分析此题的证明思路是通过变量替换后将分析如何去掉绝对值符号是解答本题的关等式左边的二重积分化为累次积分，若设变换下积键，显然直接讨论很难去掉绝对值符号．事实上本题分区域Ｄｘｙ的像为Ｄｕｖ，因为等式左边是一个二重积可以利用Ｇａｕｓｓ公式得分，被积函数为ｆ（ｘ＋ｙ）；而右边是一个定积分，被Ｉ＝６ｄｘｄｙｄｚ，Ｖ积函数为ｆ（ｕ）．自然想到要令ｘ＋ｙ＝ｕ，再根据Ｄｘｙ问题转化为计算由曲面Ｓ所围成的

5、空间闭区域Ｖ的的特殊几何对称性，可令ｘ－ｙ＝ｖ，此时在所设变体积．如果做变量代换换下积分区域的像恰好是正方形．ｕ＝ｘ－ｙ＋ｚ，解作变量代换ｖ＝ｙ－ｚ＋ｘ，ｘ＋ｙ＝ｕ，ｘ－ｙ＝ｖ，ｗ＝ｚ－ｘ＋ｙ，收稿日期：２０１１－０７－２６；修改日期：２０１２－１０－１１此时Ｖ在该坐标变换下的原像为基金项目：国家自然科学基金（６１２０２０６８，１１１２６１７４）；安徽省高校优｜ｕ｜＋｜ｖ｜＋｜ｗ｜≤１，秀青年人才基金重点项目（２０１２ＳＱＲＬ０２０ＺＤ）这是对称于坐标原点的正八面体，此时去绝对值符作者简介：施敏

6、加（１９８０－），男，安徽枞阳人，博士，副教授，主要从事代数编码与密码研究．Ｅｍａｉｌ：ｍｊｓｈｉ＠ａｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ号就简单多了．第１６卷第２期施敏加：含绝对值积分计算中的变量代换３３解设Ｖ为由曲面Ｓ所围成的空间闭区域，由解做变换Ｇａｕｓｓ公式可知ｘ＋ｙ＝ｕ，ｘ－ｙ＝ｖ，则有Ｉ＝｛（ｘ＋ｙ＋ｚ）＋［２ｙ＋Ｖｘｙｕ＋ｖ，ｙ＝ｕ－ｖ，ｘ＝（３ｚ＋ｅｘ＋ｙ）ｄｘｄｙｄｚ＝２２ｓｉｎ（ｚ＋ｘ）］＋｝ｚ此时积分曲线Ｌ′所围成的闭区域为（１＋２＋３）ｄｘｄｙｄｚ＝６ｄｘｄｙｄｚ．Ｄ＝｛（ｕ

7、，ｖ）：－１≤ｕ≤１，－１≤ｖ≤１｝，ＶＶ所以做如前述分析所给变换，则有１ｕｄｖ－ｖｄｕＩ＝２２．ｘ＝ｕ＋ｖ，ｙ＝ｖ＋ｗ，ｚ＝ｗ＋ｕ，２∮Ｌ′ｕ＋２ｖ２２２再令（ｘ，ｙ，ｚ）＝１．－ｖｕ（ｕ，ｖ，ｗ）４Ｐ（ｕ，ｖ）＝２２，Ｑ（ｕ，ｖ）＝２２，ｕ＋２ｖｕ＋２ｖ而Ｖ经坐标变换变为由于点Ｏ在区域Ｄ中，因而函数Ｐ（ｕ，ｖ）和Ｑ（ｕ，ｖ）Ｖ′＝｛（ｕ，ｖ，ｗ）：｜ｕ｜＋｜ｖ｜＋｜ｗ｜≤１｝，在点Ｏ不连续，当然它们的偏导数在点Ｏ也不连续，于是为了能直接应用Ｇｒｅｅｎ公式，必须将点Ｏ“挖去”．以１３槡

8、Ｉ＝６ｄｕｄｖｄｗ＝ｄｕｄｖｄｗ．２Ｖ′４２Ｖ′Ｏ为中心，以长轴为ε（＞０），短轴为ε做一个小椭２因Ｖ′为对称于坐标原点的正八面体，它在第一挂限圆周Ｃ，使Ｃ整个在以Ｌ′为边界的有界闭区域Ｄ内，部分即为四面体于是在挖去这个小椭圆域所得区域Ｄ１上，Ｐ（ｕ，ｖ）Ｖ′１＝｛（ｕ，ｖ，ｗ）：ｕ＋ｖ＋ｗ≤１，ｕ，ｖ，ｗ≥０｝．和Ｑ（ｕ，ｖ）的偏导数均连续了，从而可以利用复连１４通区域的Ｇｒｅｅｎ公式．这时，我们有因Ｖ′１的体积为，故Ｖ′的体积为，所以６３Ｑ（ｕ，ｖ）Ｐ（ｕ，ｖ）－＝０，（ｕ，ｖ）∈Ｄ