含参变量的 积分

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1、§12.3.含参变量的积分教学目的掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则．教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积分设二元函数在矩形域有定义，一元函数在可积，即积分存在.都对应唯一一个确定的积分（值）.于是，积分是定义在区间的函数，表为称为含参变量的有限积分，称为参变量.定理1.若函数在矩形域连续，则函数在区间也连续.★说明：若函数满足定理1的条件，

2、积分与极限可以交换次序.定理2.若函数与在矩形域连续，则函数在区间可导，且，有，或.简称积分号下可微分.★说明：若函数满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3.若函数在矩形域连续，则函数在区间可积，且15.简称积分号下可积分.★说明：若函数满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即.但，对应唯一一个积分（值），它仍是区间的函数，设.下面给出函数在区间的可微性.定理4.若函数与在矩形域连续，而函数与在区间可导，，有，则函数在区间可导，且二、

3、例（I）例1.求函数的导数解：，暂时固定，，使，显然，被积函数与在矩形域都连续，根据定理2，有.因为使，所以，有.例2.求.15解：，暂时固定，，使，显然，被积函数及其关于r的偏导数，即与在矩形区域连续，根据定理2，有=设（万能换元），有=从而，.于是，（3）又有.将在做连续开拓.令函数在区间连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有.已知，有.于是，.例3.证明：若函数在区间连续，则函数15是微分方程的解，并满足条件.证明：逐次应用定理4，求函数的n阶导数，有=，，即函数是微分方程的解，显然，当时，.例4.证明：若函数存在二阶导数，函

4、数存在连续导数，则函数是弦振动方程的解.证明：根据定理4，有15于是，即是弦振动方程的解例5.求积分.解法一应用积分号下积分法.解：函数的原函数不是初等函数，函数在0与1没定义，却有极限..将函数在0与1作连续开拓，即从而，函数在区间连续.已知而函数在闭矩形域连续，根据定理3，有.解法二应用积分号下微分法.解：设15根据定理2，有.两端求不定积分，有令，有，即于是，令，有三、含参变量的无穷积分设二元函数在区域有定义。，无穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分（值）.于是，是区间的函数，表为，称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，

5、是参变量.定义设，无穷积分收敛，若有则称无穷积分在区间I一致收敛。例6.证明：无穷积分在区间[a,b](a>0)一致收敛.证明：设,求无穷积分（将u看做常数）设有已知有15使不等式成立，解得。取于是，有即无穷积分在区间一致收敛.定理5（柯西一致收敛准则）无穷积分在区间I一致收敛，有.定理6.若有，且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛。例7.证明：无穷积分在区间一致收敛证明：有已知无穷积分收敛，根据定理6，则无穷积分在区间一致收敛.例8.证明：无穷积分在R一致收敛证明：，有.已知无穷积分，则无穷积分在R一致收敛。定理7.若函数在区域

6、(a>0)，连续且在D有界，即，有则当时，无穷积分在区间I一致收敛.15例9.证明：无穷积分在区间一致收敛。证明：因为有，所以0不是被积函数的瑕点，因此将被积函数在0作连续开拓。首先证明无穷积分在区间一致收敛由§7.2例6，有,有于是，函数在区域D有界，根据定理7，无穷积分在区间一致收敛，再根据柯西一致收敛准则，无穷积分在区间一致收敛.定理8.若函数在区域，连续且无穷积分在区间一致收敛。则函数在区间连续。定理9.若函数在区域，连续且无穷积分在区间一致收敛，则函数在区间可积，且，即.简称积分号下可积分.定理10.若函数与在区域，连续且无

7、穷积分在区间收敛，而无穷积分在区间一致收敛，则函数在区间可导，且15即.简称积分号下可微分.四、例（II）例10.证明：证明：将被积函数表积分，即-.已知有而无穷积分收敛。根据定理6，无穷积分在区间一致收敛，根据定理9，交换积分次序，有例11.求无穷积分解：§12.1例11证明了无穷积分收敛（条件收敛）因为被积函数不存在初等函数的原函数，所以不能直接求这个无穷积分，为此在被积函数中引入一个收敛因子，讨论无穷积分　显然，。无穷积分（７）的被积函数及其关于ｙ的偏导数，即与在区域连续（连续开拓），已知无穷积分15在区间一致收敛（见例９），下

8、面证明。，无穷积分在区间一致收敛，事实上有已知无穷积分收敛，由定理６，无穷积分在区间一致收敛，根据定理10，，有从而下面确定常数C，等式8都成立，有即，对等式（8）等号两端取极限，有即或，于是.下面证明函数在右连续，事实