含参变量积分

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1、目录摘要1前言2一、预备知识2（一）、含参变量积分的定义2（二）、含参变量反常积分的定义2（三）、定理31、含参变量积分的相关定理32、含参变量反常积分的相关定理4二、含参变量积分的应用5（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式51、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式52、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式6（二）、证明等式7（三）、证明不等式9（四）、求极限10（五）、求隐函数的导数12三、含参量反常积分的性质13（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性131、局部一致收敛概念132、连续的等价条件133、几种收敛性的关系15（二）、含参量

2、反常积分局部一致收敛的判别法171、主要结果172、主要引理18（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法211、利用反常积分的定义和变量替换求解212、通过建立微分方程求积分值213、引入收敛因子法求解224、级数解法235、利用其他的积分24总结25参考文献2525含参变量积分赵洁（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。关

3、键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分ParameterIntegralZhaoJie(DepartmentofMathematicsBohaiUniversityLiaoningJinzhou121000China)Abstract：Inthispaper,twokindsofparameterintegralarestudied:parameter(normal)integralandparameterimproperintegral.Firstlytheirdefinitionsandrelatedtheorem

4、saregiven;Secondlytheapplicationsofparameter(normal)integralinprovingequality,provinginequalityandsolvinglimitareintroduced;Finallythequalitiesandsomespecialsolvingmethodsofparameterimproperintegralaregiven.Keywords：parameterintegral;doubleintegral;definiteintegral;improperintegral;loc

5、allyuniformlyconvergence;uniformcovergence;parameterimproperintegral25前言含参变量积分是一类比较特殊的积分,由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。对于含参量反常积分，本文给出了含参量反常积分局部一致收敛的定义，将建立在局部一致收敛的定义的基础上，根据局部一致收敛与一致收敛的区别与联系，参照一致收敛的判别法给出含参量反常积分的几种新的判别法，证明了局部一致收敛与含参量反常积分连续的等价性，最后讨论了

6、含参量反常积分几种收敛性的关系，介绍了几种求反常积分的方法。一、预备知识（一）、含参变量积分的定义定义1.1设函数在矩形区域上有定义，当取上任一个固定值时，在上可积，则就确定一个数，当在变动时，这样的积分就定义了一个函数，（1.1）称此积分为含参变量积分。　除（1.1）外，以下两种表示形式的积分()，也是含参变量积分。（二）、含参变量反常积分的定义定义1.2设函数在无界区域上有定义，若对每一个固定的，反常积分25（1.2）都收敛，则它的值是在上取值的函数，当记这个函数为时，则有，，（1.3）称（1.2）式为定义在上的含参变量反常积分。　（三）、定理1、含参变量积分的

7、相关定理定理1.1（连续性）若二元函数在矩形区域上连续，则函数在上连续。定理1.2（连续性）设二元函数在区域上连续，其中为上的连续函数，则函数在上连续。定理1.3（可微性）若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则函数在上可微，且.定理1.4设和在上连续，则在上有连续的导函数，且25．定理1.5设函数，都在上连续，又和在存在，且当时，有，，则在上可导，且．定理1.6（可积性）若在矩形区域上连续，则和分别在和上可积。定理1.7设在上连续，且，则，即．2、含参变量反常积分的相关定理定理1.8（连续性）设在上连续，若含参量反常积分在上一致收敛，则在连续。定理1.9设，在连