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1、*第五节一、被积函数含参变量的积分二、积分限含参变量的积分含参变量的积分第十章一、含参变量积分的连续性是变量在上的一个一元连续函数,设函数是在矩形上的连续函数.在上任意确定的一个值,于是从而积分存在,这个积分的值依赖于取定的值.当的值改变时,一般来说这个积分的值也跟着改变.这个积分确定一个定义在上的的函数,我们把它记作即定理1如果函数在矩形上连续，那么由积分确定的函数在上也连续.证设和是上的两点，则这里变量在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量.由于在闭区域上连续，从而一致连续.因此对于任意取定
2、的,存在,使得对于内的任意两点及,只要它们之间的距离小于,即就有因为点与的距离等于,所以当时,就有于是由（1）式有所以在上连续.定理得证注既然函数在上连续,那么它在上的积分存在,这个积分可以写为右端积分式函数先对后对的二次积分.定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,续,则含参变量的积分由连续性定理易得下述可积性定理:定理2如果函数在矩形上连续,则公式（2）也可写成下面考虑由积分(*)确定的函数的微分问题.定理3如果函数及其偏导数都在矩形上连续,那么
3、由积分(*)确定的函数在上可微分,并且证因为为了求，先利用公式(1)作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及的一致连续性，我们有其中，可小于任意给定的正数，只要小于某个正数.因此这就是说综上所述有令取上式的极限，即得公式（5）.此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,求导与求积运算是可以交换顺序的.我们在实际中还会遇到对于参变量的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量的函数.这样,积分也是参变量的函数.下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质.定理4如果函数在矩形上
4、连续，又函数与在区间上连续，并且则由积分（3）确定的函数在上也连续.证设和是上的两点，则当时，上式右端最后一个积分的积分限不变，根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又其中是在矩形上的最大值.根据与在上连续的假定，由以上两式可见，当时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当时，所以函数在上连续.定理得证定理5如果函数及其偏导数都在则由积分(3)确定的函数在上可微，并且矩形上连续，又函数与在区间上可微，并且三、莱布尼茨公式证由(4)式有当时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则对于(8)右
5、端的第二项，应用积分中值定理得其中在与之间.当时,类似地可证,当时,因此，令，取(8)式的极限便得公式(7).公式(7)称为莱布尼茨公式.于是应用莱布尼茨公式，得例1设求解例2求解这里函数在矩形上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有例3计算定积分考虑含参变量的积分所确定的函数显然，根据公式(5)得解把被积函数分解为部分分式,得到于是上式在上对积分,得到即从而例4.分小时,函数的n阶导数存在,且证:令在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5可得即同理于是1、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小
6、结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用.练 习 题练习题答案
