含参变量反常积分.ppt

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1、§2含参量反常积分本节研究形如的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。设是定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分都收敛,则它的值是在区间上取值的函数,表为称为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或简称为含参量反常积分.对于含参量反常积分和函数则称含参量反常积分在上一致收敛于.一致收敛的柯西准则:含参量反常积分在上一致收敛的充要一致收敛的充要条件;含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数在一致收敛.魏尔斯特拉斯M判别法:设有函数,使得魏尔斯特拉斯（Weierstr

2、ass）判别法若一致收敛。证明因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于从而所以关于一致收敛。魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若一致收敛。证明因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于从而所以关于一致收敛。例1在内一致收敛解因为而积分收敛，所以在内一致收敛狄利克雷判别法;阿贝耳判别法:二、一致收敛积分的性质1.连续性定理因为在内一致收敛，所以证明因此，当时，设在上连续，关于在上一致收敛，则一元函数在上连续。又在上连续，所以作为的函数在连续，于是从而，当时，有定理证毕。2.积分顺序交换定理设在上连续，关于在上一致

3、收敛，则在可积，并且3.积分号下求导的定理设在上连续，收敛，关于在上一致收敛，则在可导，且证明因为在连续，由连续性定理在连续，沿区间积分，由积分顺序交换定理，得到在上式两端对求导，得定理证毕。连续性即:可微性可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即可积性含参量反常积分在上一致收敛.证明反常积分在上一致收敛.证明含参量反常积分在上一致收敛.在上一致收敛.证明含参量反常积分在上一致收敛.含参量反常积分在上一致收敛.例4证明证（1）用分段处理的方法.因为例4计算积分解例5利用积分号下求导求积分解因为因为故由数学归纳法易证于是例6计算积分解令在第二

4、项积分中令得故(2),含参量反常积分一致收敛的定义;(1),含参量反常积分的定义;(3),含参量反常积分一致收敛的判别;一致收敛的柯西准则:一致收敛的充要条件;魏尔斯特拉斯M判别法;阿贝耳判别法;狄利克雷判别法;(4),含参量反常积分的性质;(i),连续性;(ii),可微性;(iii),可积性;