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1、第十九章含参量积分§1含参量正常积分§2含参量反常积分§3欧拉积分上的连续函数,确定了一个定义在[a,b]上的函数,x称为参变量,上式称为含参变量的积分.则积分⑴§1含参量正常积分一般地，设f(x,y)为区域上的二元函数,c(x),d(x)在[a,b]连续，定义含参量的积分下面讨论含参量积分的连续性、可微性和可积性.在[a,b]上连续.上连续,则函数若在矩形区域连续性定理分析对任何x∈[a,b],要证：就有即定理19.1(连续性)(积分号下取极限)证设x,x+Δx∈[a,b],在闭区域R上连续,所以一致连续,由于即只要就有就有所以
2、，这说明连续同理可证,续,则含参变量的积分即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序是可交换的，或说可在积分号下取极限.上连续,则若定理19.1表明,在矩形区域在[a,b]上连续.定理19.2（连续性）如果函数在区域上连续，又函数与在区间上连续，则函数在[a,b]上连续.证对积分用换元积分法，令于是从而因为在矩形[a,b]×[0,1]上连续，由定理19.1得在[a,b]上连续都在可微性定理定理19.3(可微性)（积分号下求导数)分析:要证即使得当时，有对任意的由拉格朗日中值定理，存在使得证:所以因此从而一致连续，即只要，有因此故I
3、(x)在x可导，且由x的任意性，及定理19.1知I(x)在[a,b]有连续的导函数.在定理的条件下,求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数定理19.4（可微性）如果函数在矩形上连续，在[a,b]上可微，且证:把F(x)看作复合函数：由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有定理19.5(可积性)在[a,b]上可积.上连续,则函数若在矩形区域在[c,d]上可积.可积性定理记统称为累次积分或二次积分.问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有上连续,则若在矩形区域定理19.6（积分交换顺序）其中证记于是所以从而(k为常数)当u
4、=a时，于是，k=0即得取u=b,就得例1求解：记因为都是的连续函数所以在连续，从而例2.解:考虑含参变量t的积分所确定的函数显然,于是由定理19.3故因此得例3.验证当
5、x
6、充分小时,函数的n阶导数存在,且证:令在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理19.4可得即同理当x=0时，有例4.解:由被积函数的特点想到积分:例5.解:内容小结在[a,b]上连续、可积.若上连续,则函数在矩形区域在[c,d]上连续、可积.且上连续,则函数在矩形区域若在[a,b]上可微，且.上连续,则函数在矩形区域若在[c,d]上可微，且.
